线性代数的本质（一）——什么是向量

最新推荐文章于 2025-03-12 15:29:53 发布

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#线性代数 #3b1b

这篇博客介绍了线性代数中的向量概念，包括向量的几何理解，如二维和三维空间中的表示，以及向量的基本运算，如加法和数乘。向量加法可视作两个运动的合成，数乘则可视为向量的缩放。文章强调了向量的灵活应用，并鼓励读者超越固定思维，从不同角度理解向量。

向量的几何理解

我们所熟知的向量的样子是下面这样的

$v⃗=[ab]\vec{v}= \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}$

直观的几何理解是这个向量 $v⃗\vec{v}$ 是从原点指向坐标为(-2, 3)的箭头，如下图

在这里插入图片描述

这里向量的两个分量能够告诉我们如何从原点出发找到这样一个箭头，这里第一个分量告诉我们先沿着x轴正方向移动-2个单位，第二个分量告诉我们沿着y轴正方向移动3个单位。

在这里插入图片描述

从上面的定义，我们可以知道，在二维平面中，每一对数能够对应一个唯一的向量，同时一个向量对应一个唯一的一对数。

同样的，在三维空间中，一个向量由一个三元组决定，三个数分别对应向量在x轴，y轴，z轴上的移动距离。

在这里插入图片描述

一个二元组可以得到一个二维空间中的向量，一个三元组可以得到一个三维空间中的向量，所以，一个向量的维数就是代表该向量所处的空间的维数，也就是一个向量分量的个数。

向量的基本运算

向量加法

我们所学的向量加法是这样的

$[a1b1]+[a2b2]=[a1+a2b1+b2]\begin{bmatrix} a_1 \\ b_1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} a_2 \\b_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1 + a_2 \\ b_1 + b_2 \end{bmatrix}$

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