线性代数之四：线性变换

最新推荐文章于 2025-05-11 16:39:04 发布

zzulp

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分类专栏：数学

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4.1 线性变换

线性变换：一个将向量空间V映射到向量空间W的映射L，如果对所有V中的向量v以及标量a,b，都有 $L(av_1+bv_2)=aL(v_1)+bL(v_2)$ ，则称L为V的线性变换(Liner transformation)，记作 $L:V->W$ ，如果V和W是相同的，称L是V的线性算子(liner operator)。

线性变换的性质：若L为从向量空间V到向量空间W的线性变换，则有：

$L(0)=0$
$L(a_1v_1+a_2v_2+....+a_nv_n)=a_1L(v_1)+a_2L(v_2)+...+a_nL(v_n)$
$L(-v) = -L(v)$

定义：若 $L:V->W$ 为一线性变换，则L的核ker(L)定义为：

k e r (L) = {v \in V | L (v) = 0 w}

$ker(L)=\{v \in V|L(v)=0_w\}$

定义：若 $L:V->W$ 为一线性变换，且S为V的一子空间，则S的像(image)定义为：

L (S) = {w \in W | w = L (v), v \in S}

$L(S)=\{w\in W|w=L(v),v\in S\}$ ，V的像L(V)称为L的值域(range)。

定理：在上面两个定义的基础上，ker(L)是V的子空间，L(S)为W的子空间。

4.2 线性变换与矩阵表示

定理：若L为一从 $R^n$ 到 $R^m$ 的线性变换，则存在一个m*n的矩阵A，使得每个 $R^n$ 中的元素x，都有 $L(x)=Ax$ 。
事实上，A的第j个列向量为： $a_j=L(e_j),j=1,2,...n,e_j为标准基$
此定理说明线性变换可以由矩阵乘法来计算，并给出了计算矩阵A的方法。

矩阵表示定理：若 $E=[v_1,v_2,...,v_n]$ 和 $F=[u_1,u_2,...,u_m]$ 分别为向量空间V和U的有序基，则对每一线性变换L:V->U，存在矩阵 $A_{m*n}$ ，使得对任意 $w\in V$ ，L(w)在F下的表示为：

[L (w)] F = A [w] E (3)

$[L(w)]_F=A[w]_E \tag{3}$
A称为L相应于E,F的表示矩阵，A的各列：

a j = [L (v j)] F, j = 1, 2, . . ., n, v j 为 E 的 有 序 基

$a_j=[L(v_j)]_F,j=1,2,...,n,v_j为E的有序基$

定理：若 $E=[v_1,v_2,...,v_n]$ 和 $F=[u_1,u_2,...,u_m]$ 分别为Rn和Rm的有序基，若L:V->U为线性变换，且A为L相应于E和F的表示矩阵， $U=(u_1,u_2,...,u_m)$ ，则

a j = U - 1 L (v j) (4)

$a_j=U^{-1}L(v_j)\tag{4}$

示例：线性算子L为将向量进行扩展2倍的操作，向量空间的基为 $E[(1,0)^T,(0,1)^T]$ , $F[(2,3)^T,(1,2)^T]$ 。
向量 $w=(1,2)^T$ ，w基于E的表示为 $[w]_E=(1,2)^T$ ，有 $[L(w)]_E=(2,4)^T$ ， $[L(w)]_F=(0,2)^T$ 。因 $U^{-1}=\left[ \matrix{2&-1\cr -3&2\cr } \right]$ ，由(4)式可得 $A=\left[ \matrix{4&-2\cr -6&4\cr } \right]$ 。可验证满足(3)式。

推论：若A为线性变换L相应基于E,F的表示矩阵，则 $(u_1,...,u_m|L(v_1),...,L(v_n))$ 的行最简形为(I|A)
推论给出了计算线性变换的表示矩阵的方法，即构造U|L(v)的增广矩阵，对U做行变化将其变换为I则L(v)部分即变换为表示矩阵A。

4.3 计算机图形与动画

平面上的图形可以在计算机上存储为一个顶点的集合。若有n个顶点，可将其存储在2*n的矩阵V中，顶点的x坐标存储在第一行，y坐标存储在第二行。则图形的下面4种操作都可以使用线性变换来完成，变换后的顶点矩阵V’=A*V。

放大和缩小：其表示矩阵为 $A=cI$ ，c>1时为放大，c<1时为缩小。
关于x轴对称：其表示矩阵为$A=[e1,-e2]
关于y轴对称：其表示矩阵为$A=[-e1,e2]
旋转：令旋转角度为 $\theta$ ，则表示矩阵为 $A=\left[\matrix{cos\theta & -sin \theta \cr sin \theta & cos \theta}\right]$
平移：由于平移不是线性变换，因此要借助齐次坐标系，将二维向量等同于三维中与此向量前两个坐标相同，而第三个坐标为1的向量。因此所有顶点坐标变为(x.y,1)，假定平移量为(a,b)，此时表示矩阵为 $A=\left[ \matrix{1&0&a \cr 0&1&b \cr 0&0&1} \right]$