dp——拆分

这道题太神奇了，这么久我才理解了一点。。。。

接下来就是照打了
原题链接

这种题目考虑背包，
$dp[i][j]$表示枚举到第i个数，乘积为j的方案总数，
而易推知$dp[i]只和dp[i-1]$有关，用经典的背包降维，
即$dp[j]=max(dp[j],dp[j/k]+1),k$表枚举可整除j的n的因数（n是输入的数）
而因为不能重复使用，我们再套用经典的逆序背包即可

但数据范围很大，所以上述做法显然是不行的（i，j都要枚举）（数组要开1e12）TLE+MLE

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前置知识

即i为因子fac的下标

• 当$fac<=\sqrt{n}$ 则 记录fac的下标记录为pos1=i
• 当$fac>\sqrt{n}$ 则 记录fac的下标记录为pos2=i
• 这样我们可以优化空间，空间复杂度降为√n

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我们考虑转换状态，每次枚举可整除j的因数k,即我们可以以k为状态，枚举以k为因子j的数
但还是不行（枚举以k为因子的数j还是会TLE）
这时我们考虑枚举m，使得k*m=j
但为了避免重复计算，我们考虑不妨设k为j的最大因子
由于有了前置知识，所以我们可以只枚举编号,用$fac和pos$ 转换，

dp[i][j] 表示将编号为i的因子fac[i]拆分，使拆分到的每一个数均<=fac[j]

为了方便记录初始状态，我们不妨记录每一个数都可以拆成自己，最后减1即可，
（因为比如42=67） 我们可以用6,7转移，但7不能拆，方案数为0，而根据乘法原理01=0，显然不对

讨论dp[i][j]的转移
$dp[i][j]+=dp[i][j-1]$ 直接继承,分不到$fa{c}_j$，即分$fa{c}_i<=fa{c}_{j-1}$的个数
$if(i==j)dp[i][j]++$ 算上这个数本身
$if$$(fa{c}_i$ % $fa{c}_j==0)$ 即$fa{c}_i$有$fa{c}_j$这个因子，由于我们没统计过含有$fa{c}_j$的个数，那我们
不妨提出$fa{c}_j$,又因子不能重复，将所有$fac[i]/fac[j]$中的个数统计出来（这些方案中一定不含有$fa{c}_j$,而所有的方案乘fac[j]就是含有fac[j]的方案）我们只需要用$dp[pos(fac[i]/fac[j])][j-1]$更新即可，

if(fac[i]%fac[j]==0) {
			ll tmp=fac[i]/fac[j],tmpn;
			if(tmp<=sqr) tmpn=pos1[tmp];
			if(tmp>sqr)  tmpn=pos2[n/tmp];
			dp[i][j]=(dp[tmpn][j-1]+dp[i][j])%mod;
		}

时间复杂度虽然不低，但能卡着AC

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const ll N=(1000000);
ll n;
ll tnt=0,dp[7720][7720];
ll fac[7720];
ll mod=998244353;
ll pos1[N],pos2[N];
int main(){
	ll T;
	scanf("%lld",&T);

	while(T--){
	tnt=0;
	scanf("%lld",&n);
	int sqr=sqrt(n);
    for(ll i=1;i<=sqr;i++){
	    if(n%i==0){
	    	fac[++tnt]=i;
	    	fac[++tnt]=n/i;
	    }
	}
	if(sqr*sqr==n){	tnt--;}  
    sort(fac,fac+tnt+1);
    for(ll i=0;i<=tnt;i++)
    for(ll j=0;j<=tnt;j++) dp[i][j]=0;
	for(ll i=1;i<=tnt;i++){
		dp[i][i]=1;
		if(fac[i]<=sqr) pos1[fac[i]]=i;
		if(fac[i]>sqr)  pos2[n/fac[i]]=i;
	}
	for(ll i=1;i<=tnt;i++)
	for(ll j=1;j<=tnt;j++){
		dp[i][j]=(dp[i][j-1]+dp[i][j])%mod;
		if(i<=j){continue;}	
		if(fac[i]%fac[j]==0) {
			ll tmp=fac[i]/fac[j],tmpn;
			if(tmp<=sqr) tmpn=pos1[tmp];
			if(tmp>sqr)  tmpn=pos2[n/tmp];
			dp[i][j]=(dp[tmpn][j-1]+dp[i][j])%mod;
		}
	}
	printf("%lld\n",(dp[tnt][tnt]-1+mod)%mod);  
   }
}