计算复杂二项分布的定理——De Moivre-Laplace Theorem

蒂莫夫-拉普拉斯定理（De Moivre-Laplace Theorem）是概率论中一个重要的定理，它是中心极限定理的特殊情况，专门针对二项分布。

定理内容

$设(X_n)服从参数为(n,p)的二项分布，即(X_n\sim B(n,p))。当(n\to \infty )时，标准化后的随机变量：[frac{X}_n-np\sqrt{np(1-p)}]$
依分布收敛到标准正态分布$N(0,1)$。

数学表达

$[{\lim }_{n\to \infty }P\left(\frac{X_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}\le x\right)=\Phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^x{e}^{-t^2/2}dt]$

直观理解

这个定理告诉我们：

• 即使原始分布是离散的二项分布
• 当试验次数 ( n ) 很大时
• 标准化后的二项分布可以用连续的正态分布来近似

应用条件

通常认为近似效果较好的条件是：
$[np\ge 5\text{且}n(1-p)\ge 5]$

实际应用例子

问题：抛一枚均匀硬币1000次，求正面出现次数在480到520之间的概率。

解：

• $(n=1000,p=0.5)$
• $(\mu =np=500,\sigma =\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{250}\approx 15.81)$

使用蒂莫夫-拉普拉斯定理：

$P(480\le X\le 520)=P\left(\frac{480-500}{15.81}\le \frac{X-500}{15.81}\le \frac{520-500}{15.81}\right)$

$=P(-1.26\le Z\le 1.26)=\Phi (1.26)-\Phi (-1.26)\approx 0.792$

与中心极限定理的关系

蒂莫夫-拉普拉斯定理是中心极限定理在二项分布情况下的特例，因为：

• 二项分布可以看作是 ( n ) 个独立伯努利试验的和
• 每个伯努利试验的均值是 ( p )，方差是 ( p(1-p) )
• 根据中心极限定理，独立同分布随机变量和的标准化形式趋近于正态分布

历史意义

这个定理在历史上很重要，因为：

1. 它是早期发现的正态逼近结果
2. 为后来更一般的中心极限定理奠定了基础
3. 在实际统计推断中有广泛应用

记忆要点

• 适用对象：二项分布 ( B(n, p) )
• 核心结论：标准化后近似服从 ( N(0,1) )
• 标准化方法：$(\frac{X-np}{\sqrt{np(1-p)}})$
• 应用条件：( n ) 足够大，( np ) 和 ( n(1-p) ) 都不太小

这个定理使得我们可以用熟悉的正态分布来计算复杂的二项概率，大大简化了实际计算工作。

例题