体积最大值-优快云博客

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利用一半径为 $4 c m$ 的圆形纸片（圆心为 $O$ ）制作一个四棱锥.方法如下：
①以 $O$ 为圆心制作一个小圆；
②在小圆内制作一个内接正方形 $A B C D$ ；
③以正方形 $A B C D$ 的各边向外作等腰三角形，使等腰三角形的顶点落在大圆上（如图）；
④将正方形 $A B C D$ 作为四棱锥的底，四个等腰三角形作为四棱锥的侧面折起，使四个等腰三角形的顶点重合.
问：要使制作的正四棱锥体积最大，则小圆的半径为
$A.\dfrac{4\sqrt{2}}{5 }\qquad B.\dfrac{6\sqrt{2}}{5} \qquad C.\dfrac{8\sqrt{2}}{5}\qquad D.2\sqrt{2}$

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[解析]
如图，连接 $O F$ ，交 $C B$ 于点 $M$ ，设 $O M = x$ ，则 $M F = 4 - x$ .则四棱锥的高 $h=\sqrt{(4-x)^2-x^2}=\sqrt{16-8x}$ ，则 $V=\dfrac{1}{3}\cdot4x^2\cdot\sqrt{16-8x}=\dfrac{4\sqrt{2}}{3}\cdot\sqrt{x^4(8-4x)}\leq\dfrac{4\sqrt{2}}{3}\cdot\sqrt{(\dfrac{8}{5})^5}=\dfrac{512\sqrt{20}}{375}.$
当且仅当 $x = 8 - 4 x$ 时，即 $x=\dfrac{8}{5}$ 时，等号成立，体积最大.此时小圆半径 $r=\dfrac{8\sqrt{2}}{5}.$ 故答案为 $C .$