概率论笔记

本篇文章仅用于菜鸡本人个人学习使用，如有错误还请指正，博文后续由于个人时间原因，仅截取老师ppt内容，后续有待完善。

第一章 概率论的基本概念

$0x11$ 随机试验

一、随机现象

① 确定性现象

定义：在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象.

确定性现象的特征：条件完全决定结果

② 随机现象

定义：在一定条件下可能出现也可能不出现的现象称为随机现象.

随机现象的特征：条件不能完全决定结果，但能决定所有可能结果的集合

说明

1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系，其数量关系无法用函数加以描述。
2. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性，但在大量试验或观察中，这种结果的出现具有一定的统计规律性。

二、随机试验

定义：在概率论中,把具有以下三个特征的试验称为随机试验,用 $E$ 表示。

1. 可以在相同的条件下重复地进行；
2. 每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；
3. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。

$0x12$ 样本空间、随机事件

一、样本空间 样本点

定义：随机试验E的所有可能结果组成的集合称为 $E$ 的样本空间,记为 $S$ .
样本空间的元素,即试验 $E$ 的每一个结果,称为样本点

eg

样本有限：抛掷一枚骰子,观察出现的点数.

样本空间： S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } S=\{ 1,2,3,4,5,6 \} S={1,2,3,4,5,6}

样本无限：从一批灯泡中任取一只,测试其寿命.

样本空间： S = { t   ∣   t ≥ 0 } S=\{t\ |\ t\geq 0 \} S={t ∣ t≥0}

样本多维：考察某地区12月份某地一昼夜的最高气温和最低气温.

S = { ( x , y )   ∣   T 0 ≤ x ≤ y ≤ T 1 } S=\{ (x,y)\ |\ T_0\leq x\leq y\leq T_1 \} S={(x,y) ∣ T0​≤x≤y≤T1​}

说明

1. 同一试验，若试验目的不同,则对应的样本空间也不同。
2. 建立样本空间,事实上就是建立随机现象的数学模型。

二、随机事件的概念

随机事件定义：随机试验 $E$ 的样本空间 $S$ 的子集称为 $E$ 的随机事件，简称事件。

基本事件：有一个样本点组成的单点集

必然事件：随机试验中必然会出现的结果

不可能事件： 随机试验中不可能出现的结果

三、随机事件间的关系及运算

设试验 $E$ 的样本空间为 $S$ ，而 $A,B,A_k(k=1,2,...)$是 $S$ 的子集。

①．包含关系

若属于事件$A$的样本点必属于事件$B$,则称事件$B$包含事件$A$,记为$A\subset B $。同时，事件$A$称为是事件$B$的子事件。对任意随机事件$A$,都有$\phi\subset A\subset S$。

②. 等于关系

若事件$A$包含事件$B$,而且事件$B$包含事件$A$，则称事件$A$与事件$B$相等,记作$A=B$.

③. 事件$A$与$B$的并(和事件)

事件 A ∪ B = { x ∈ A   或   x ∈ B } A\cup B=\{x\in A\ 或\ x\in B\} A∪B={x∈A 或 x∈B}称为事件$A$与事件$B$的和事件.
当且仅当事件$A$或事件$B$至少有一个发生时，则称事件$A$与事件$B$的并事件发生,记该事件为$A\cup B$.

推广

称${\cup }_{k=1}^n{A}_k$为$n$个事件$A_1,A_2,...A_n$的和事件

称${\cup }_{k=1}^{\infty }{A}_k$为可列事件$A_1,A_2,...A_n$的和事件

④. 事件$A$与$B$的交(积事件)

事件 A ∩ B = { x ∣ x ∈ A 且 x ∈ B } A\cap B=\{x |x\in A 且x\in B\} A∩B={x∣x∈A且x∈B}称为事件$A$与事件$B$的积事件．
当且仅当事件$A$与事件$B$同时发生时,则称事件$A$与事件$B$的交事件发生,记该事件为$A\cap B$.

推广

称${\cap }_{k=1}^n{A}_k$为$n$个事件$A_1,A_2,...A_n$的积事件

称${\cap }_{k=1}^{\infty }{A}_k$为可列事件$A_1,A_2,...A_n$的积事件

和事件与积事件的运算性质

1. $A\cup A$
2. $A\cap S=S$
3. $A\cup \varphi =A$
4. $A\cap A=A$
5. $A\cap S=A$
6. $A\cap \varphi =\varphi$

⑤. 事件$A$ 与$B$ 的差

由事件$A$出现而事件$B$不出现所组成的事件称为事件$A$与$B$的差.记作$A-B$.

⑥. 事件$A$与$B$互不相容(容斥)

若事件$A$与事件$B$不同时出现，则称事件$A$与$B$互不相容，即$A\cap B=AB=\varphi$

⑦. 事件$A$的对立事件(补事件)

设$A$表示“事件$A$出现”，则“事件$A$不出现”称为事件$A$的对立事件或逆事件。记作$\overline{A}$

对立事件与互斥事件的区别

$A、B$互斥事件的区别 : $AB=\varphi$

$A、B$对立事件的区别 : $AB=\varphi A\cap B=S$

$0x13$ 频率与概率

一、频率的定义与性质

定义：在相同的条件下，进行了$n$次试验,在这$n$次试验中，事件$A$发生的次数$n_A$称为事件$A$发生的频数。比值$\frac{n_A}{n}$称为事件$A$发生的频率,并记成$f_n(A)$.

性质：设$A$是随机试验$E$的任一事件，则

1. $0\le f_n(A)\le 1$;
2. $f(S)=1,f(\varphi )=0$
3. 若$A_1,A_2,...A_k$是两两互不相同的事件，则$f(A_1\cup A_2\cup ...\cup A_k)=f_n(A_1)+f_n(A_2)+...+f_n(A_k)$

推论

1. 频率具有随机波动性，即对于同样的$n$，所得到的$f$不一定相同；
2. 当$n$较小时频率$f$的随机波动幅度较大，但随$n$的增大频率$f$呈现出稳定性
3. 频率趋于稳定值，这个问鼎值从本质上反映了事件在试验中出现可能性的大小，它就是事件的统计概率

二、频率的定义与性质

定义

设$E$是随机试验，$S$是它的样本空间。对于$E$的每一事件$A$赋予一个实数，记为$P(A)$,称为事件$A$的概率，如果集合函数$P(\cdot )$满足下列条件

1. 非负性：对于每一个事件$A$,有$P(A)\ge 0$
2. 规范性：对于必然事件$S$,有$P(S)=1$
3. 可列可加性：设$A_1,A_2,\dots$是两两互不相容的事件,即对于$i\ne j,A_i{A}_j,=\varphi ,i,j=1,2,\dots ,$则有
   $P(A_1\cup A_2\cup \dots )=P(A_1)+P(A_2)+\dots$ 概率的可列可加性

性质

1. $P(\varphi )=0$ 不可能事件概率为0，概率为0的事件不一定是不可能事件
2. 若$A_1,A_2,...A_n$是两两互不相同的时间则有$P(A_1\cup A_2\cup \dots A_n)=P(A_1)+P(A_2)+\dots +P(A_n)$
3. 设$A，B$为两个事件，且$A\subset B$则$P(A)\le P(B),P(B-A)=P(B)-P(A)$
4. 对于任一事件$A,P(A)\le 1$
5. 设$\overline{A}$是$A$的对立事件，则$P(\overline{A})=1-P(A)$
6. （加法公式）对于任意两事件$A,B$有$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$
7. 对于任意两事件$A,B$有$P(A-B)=P(A)-P(AB)$

公式小结

1. $P(A\cup B)=p(A)+P(B)-P(AB)$
2. $P(A-B)=P(A)-P(AB)$
3. $P(\overline{A})=1-P(A)$

$0x14$ 等可能概型(古典概型)——排列组合的应用

一、等可能概型

定义

1. 试验的样本空间只包含有限个元素；

2. 试验中每个基本事件发生的可能性相同
   具有以上两个特点的试验称为等可能概型或古典概型。

古典概型中事件概率的计算公式

设试验$E$的样本空间$S$由$n$个样本点构成，$A$为$E$的任意一个事件，且包含$m$个样本点，则事件$A$出现的概率记为:
$$P(A)=\frac{m}{n}=\frac{A所包含样本点的个数}{样本点总数}$$
称此为概率的古典定义

古典概型的经典模型

盒中取球问题

1. 有放回的取球

设盒中有N个球,其中有M个红球,从中有放回的任抽n个球,则这n个球中恰有k个红球的概率是
$$P=C_n^k\frac{M^k(N-M{)}^{n-k}}{N^n}=C_n^k(\frac{M}{N}{)}^k(\frac{N-M}{N}{)}^{n-k}$$
称为“二项分布模型”,此类试验称为“贝努里概型”。

2. 无放回的取球

设盒中有$N$个球,其中有$M$个红球,从中不放回的任抽$n$个球,则这$n$个球中恰有$k$个红球的概率是
$$P=\frac{C_M^k{C}_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}$$
称为"超几何分布模型"，可应用于抽签、取数、选人、产品抽样等类似场景

分球入盒问题

将$n$个可分辨的球随机地放入$N(N\ge n)$个盒子,试求:

1. 指定的$n$个盒子各有一球的概率;
2. 恰有$n$个盒子各有一球的概率。(设盒子的容量不限)

由于每个球都可以放入N个盒子中的任一个，故有$N\ast N\ast ...\ast N=N^n$种不同的放法。

1. 指定的$n$个盒子各有一球，共有$n(n-1)(n-2)...1=n!$种可能的放法,于是
   $$P(A)=\frac{n!}{N^n}$$

2. 恰有$n$个盒子各有一球,共有$C_N^n{A}_n^n$可能的放法，于是
   $$P(B)=\frac{n!C_N^n}{N^n}=A_N^n{N}^n$$

分组问题

1. 无序分组问题

一般地，把$n$个元素随机地分成无序的$m$组$(n>m)$,要求每组$k$个元素，共有分法:
$$\frac{C_n^k{C}_{n-k}^k...C_{n-mk}^k}{m!}=\frac{n!}{(k!{)}^{m}m!}$$

2. 有序分组问题

   一般地，把$n$个元素随机地分成有序的$m$组$(n>m)$,要求第$i$组恰有$n$;个元素$(i=1,\dots m)$，共有分法:
   $$C_n^{n_1}{C}_{n-n_1}^{n_2}...C_{n_m}^{n_m}=\frac{n!}{n_1!...n_m!}$$

二、几何概型

定义

当随机试验的样本空间是某个区域，并且任意一点落在度量(长度、面积、体积)相同的子区域是等可能的,则事件A的概率可定义为
$$P(A)=\frac{S_A}{S}$$
(其中$S$是样本空间的度量,$S$是构成事件$A$的子区域的度量.)这样借助于几何上的度量来合理规定的概率称为几何概型.
说明 当古典概型的试验结果为连续无穷多个时,就归结为几何概型.

什么是几何概型，与古典概型有什么区别？

当随机试验的样本空间是某个区域，并且任意一点落在度量 (长度、面积、体积)相同的子区域是等可能的，并且借助几何上的度量来合理规定的概率成为几何概型。

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积或度数)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型。

古典概型与几何概型的主要区别在于：几何概型是另一类等可能概型，它与古典概型的区别在于试验的结果是无限个。

请你举出一个几何概型试验的例子。

在半径为1的圆内任意取两点构成一条弦，求弦长度大于等于 $\sqrt{3}$ 的概率。（Bertrand问题的一种理解）

请思考蒲丰是如何通过投针实验计算圆周率的。平面上画有等距离为a(a>0)的一些平行直线，现向此平面任意投掷一根长为b( b<a )的针，试求针与某一平行直线相交的概率，并以此求出圆周率计算公式。

概率$p=\frac{2b}{\pi a}$，故$\pi =\frac{2b}{pa}$

$0x15$ 条件概率

一、条件概率

定义

设$A，B$是两个事件，且$P(A)>0$，称$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$

为在事件$A$发生的条件下事件$B$发生的条件概率.

同理可得$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}$

为事件$B$发生的条件下事件$A$发生的条件概率.

性质

1. 非负性：$P(A|B)\ge 0$
2. 规范性：$P(S|B)=1,P(\varphi |B)=0$;
3. $P(A_1\cup A_2|B)=P(A_1|B)+P(A_2|B)-P(A_1{A}_2|B)$
4. $P(A|B)=1-P(\overline{A}|B)$
5. 可列可加性：设$A_1,A_2,...$是两两不相容的事件，则有$P({\cup }_{i=1}^{\infty }{A}_i|B)={\sum }_{i=1}^{\infty }P(A_i|B)$

二、乘法定理

设$P(A)>0$，则有$P(AB)=P(B|A)P(A)$

设$A,B,C$，为事件，且$P(AB)>0$，则有$P(ABC)=P(C|AB)P(B|A)P(A)$

推广

设$A_1,A_2,...A_{n-1}$为n个事件，$n\ge 2$，且$P(A_1{A}_2...A_{n-1})>0$则有
$$\begin{gathered} P(A_1{A}_2...A_n)= \\ P(A_n|A_1{A}_2...A_{n-1})\ast P(A_{n-1}|A_1{A}_2...A_{n-2})\ast ...\ast P(A_2|A_1)\ast P(A_1) \end{gathered}$$

三、全概率公式与贝叶斯公式

样本空间的划分

定义

设$S$为试验$E$的样本空间, $B_1,B_2,\dots ,B_n$为E的一组事件，若

1. $B_i{B}_j=\varphi ,i\ne j,i,j=1,2,...,n$
2. $B_1\cup B_2\cup ...\cup B_n=S$

则称$B_1,B_2,\dots ,B_n$为样本空间$S$的一个划分

全概率公式

定理

设试验$E$的样本空间为$S$,$A$为$E$的事件,$B_1,B_2,\dots ,B_n$为$S$的一个划分,且 $P(B_1)>0(i=1,2,\dots ,n)$,则
$$P(A)=P(A|B_1)P(B_1)+P(A|B_2)P(B_2)+...+P(A|B_n)P(B_n)$$

说明

全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终结果(加权平均).

贝叶斯公式

定理

设试验$E$的样本空间为$S$.$A$为$E$的事件,$B_1,B_2,\dots ,B_n$为$S$的一个划分,且$P(A)>0,P(B,)>0,(i=1,2,\dots ,n)$,则
$$P(B_i|A)=\frac{P(A|B_i)P(B_i)}{{\sum }_{j=1}^{n}P(A|B_j)P(B_j)},i=1,2,...,n$$

$0x16$ 独立性

一、时间的相互独立性

定义

设$A,B$是两事件,如果满足等式$P(AB)=P(A)P(B)$则称事件$A,B$相互独立,简称$A,B$独立.

事件$A$与事件$B$相互独立,是指事件$A$的发生与事件$B$发生的概率无关.

三事件两两相互独立的概念

定义

设$A,B,C$是三个事件,如果满足等式
$$\{\begin{array}{r}P(AB)=P(A)P(B)\\ P(BC)=P(B)P(C)\\ P(AC)=P(A)P(C)\end{array}$$
则称事件$A,B,C$两两相互独立

三个事件相互独立则三个事件两两相互独立，三个事件两两相互独立不一定三个事件相互独立。

同理可以推广到n个事件

二、几个重要定理

定理一

设$A,B$是两事件,且$P(A)>0$.若$A,B$相互独立,则$P(B|A)=P(B)$.反之亦然.

定理二

若$A,B$相互独立,则下列各对事件，$\overline{A}$与$B$,$A$与$\overline{B}$,$\overline{A}$与$\overline{B}$也相互独立.

两个结论

1. 若事件$A,A,\dots ,An(n\ge 2)$相互独立,则其中任意$k(2\le k\le n)$个事件也是相互独立.
2. 若$n$个事件 $A_1，A_2,\dots ,A_n(n\ge 2)$相互独立，则将$A_1,A_2，\dots ,A_n$中任意多个事件换成它们的对立事件,所得的$n$个事件仍相互独立.

	A、B互斥	A、B相互独立	A、B、C相互独立
判定公式	$A\cap B=\varphi$	$P(A	B)=P(B)\ \ \ P(B
概率意义	$P(AB)=0$	$P(AB)=P(A)P(B)$	$\{\begin{array}{r}P(AB)=P(A)P(B)\\ P(BC)=P(B)P(C)\\ P(AC)=P(A)P(C)\\ P(ABC)=P(A)P(B)P(C)\end{array}$

第二章 随机变量及其分布

$0x21$ 随机变量

一、随机变量的引入

引入目的

为了更方便的用数学分析的方法来研究随机现象，为了便于数学上的推导和计算，将任意的随机事件数量化，把一些非数量表示的随机事件用数字来表示。

eg

抛掷骰子，观察出现的点数，则有样本空间$S=1,2,3,4,5,6$，样本点就是数量 X ( e ) = e ⇒ X ( i ) = i ( i = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ) ⇒ P { X = i } = 1 6 X(e)=e\Rightarrow X(i)=i \quad(i=1,2,3,4,5,6)\Rightarrow P\{X=i\}=\frac{1}{6} X(e)=e⇒X(i)=i(i=1,2,3,4,5,6)⇒P{X=i}=61​

二、随机变量的概念

1. 定义

设$E$是随机试验，它的样本空间是 S = { e } S=\{e\} S={e}。如果对于每一个$e\in S$，有一个实数$X(e)$与之对应,这样就得到一个定义在$S$上的单值实值函数$X(e)$，称$X(e)$为随机变量。

2. 随机变量与普通的函数不同

随机变量是一个函数，但它与普通的函数有着本质的差别。

普通函数是定义在实数轴上的，而随机变量是定义在样本空间上的（样本空间的元素不一定是实数）。

3. 随机变量的取值具有一定的概率规律

随机变量随着试验的结果不同而取不同的值，由于试验的各个结果的出现具有一定的概率，因此随机变量的取值也有一定的概率规律。

4. 随机变量与随机事件的关系

随机事件包容在随机变量这个范围更广的概念之内。

即随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是从动态的观点来研究随机现象。
A = X − 1 ( [ a , b ] ) = { s ∈ S ∣ X ( s ) ∈ [ a , b ] } ⊆ S A = X − 1 ( { a } ) = { s ∈ S ∣ X ( s ) = a } ⊆ s A=X^{-1}([a,b])=\{s\in S|X(s)\in [a,b]\} \subseteq S\\A=X^{-1}(\{a\})=\{s\in S|X(s)=a\}\subseteq s A=X−1([a,b])={s∈S∣X(s)∈[a,b]}⊆SA=X−1({a})={s∈S∣X(s)=a}⊆s

5. 随机变量的分类

（1）离散型

随机变量所取的可能值是有限多个或无限可列个，叫做离散型随机变量。

eg：投掷一个骰子出现的点数。

（2）连续型

随机变量所取的可能值可以连续地充满某个区间，叫做连续型随机变量。

eg：灯泡的寿命

$0x22$ 离散型随机变量及其分布律

一、离散型随机变量的分布律

定义

设离散型随机变量$X$所有可能取的值为$X_k(k=1,2,\dots )$，$X$取各个可能值的概率,即事件 { X = x k } \{X =x_k \} {X=xk​}的概率，为
P { X = X k } = P k , k = 1 , 2 , … . P\{X =X_k\} =P_k, k =1,2,…. P{X=Xk​}=Pk​,k=1,2,….
称此为离散型随机变量$X$的分布律。

说明

（1）$p_k\ge 0,k=1,2,...$

（2）${\sum }_{k=1}^{\infty }{p}_k=1$

同理可以表示为

$X$	$x_1$	$x_2$	…	$x_n$	…
$p_k$	$p_1$	$p_2$	…	$p_n$	…

二、常见离散型随机变量的概率分布

1. 两点分布

设随机变量$X$只可能取$0$与$1$两个值，它的分布律为

$X$	$0$	$1$
$p_k$	$1-p$	$p$

P { X = k } = p k ( 1 − p ) 1 − k , k = 0 , 1 ( 0 < p < 1 ) P\{X=k\}=pk(1-p)1-k , k=0,1( 0<p<1) P{X=k}=pk(1−p)1−k,k=0,1(0<p<1)

则称$X$服从 (0—1) 分布或 两点 分布.

eg：抛硬币，正反面出现情况

两点分布是最简单的一种分布，任何一个只有两种可能结果的随机现象就是两点分布。

2. 等可能分布

如果随机变量$X$的分布律为

$X$	$a_1$	$a_2$	…	$a_n$
$p_k$	$\frac{1}{n}$	$\frac{1}{n}$	…	$\frac{1}{n}$

其中$(a_i\ne a_j),(i\ne j)$ 则称$X$服从等可能分布。

eg：抛掷骰子并记录出现的点数为随机变量

3. 二项分布

(1) 重复独立试验

将试验$E$重复进行$n$次，若各次试验的结果互不影响，即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它各次试验的结果，则称这$n$次试验是相互独立的，或称为$n$次重复独立试验。

(2) $n$重伯努利试验

设试验$E$只有两个可能结果：$A$及 $\overline{A}$，则称$E$为伯努利试验.

设$P(A)=p(0<p<1)$，此时$P(\overline{A})=1-p$。

将$E$独立地重复地进行$n$次，则称这一串重复的独立试验为$n$重伯努利试验.

(3) 二项概率公式

若$X$表示$n$重伯努利试验中事件$A$发生的次数，则$X$所有可能取的值为$0,1,2,3,...,n$

当$X=k(0\le k\le n)$ 时，即$A$在$n$次试验中发生了$k$次。

得$A$在$n$次试验中发生$k$次T的方式共有$C_n^k$种，且两两互不相容。

设$A$发生的概率为$p$，则$\overline{A}$的概率为$1-p$，记为$q$

其分布律为

$x$	$0$	$1$	…	$k$	…	$n$
$p_k$	$q^n$	$C_n^{1}p{q}^{n-1}$	…	$C_n^{k}p{q}^{n-k}$	…	$C_n^{n}p{q}^{n-n}$

称这样的分布为二项分布，记为$X\sim b(n,p)$.

二项分布当$n=1$时，即为两点分布。

(4) 泊松分布

设随机变量所有可能取的值为$0,1,2,\dots ,$而取各个值的概率为 P { X = k } = λ k e − λ k ! , k = 0 , 1 , 2 , … , P\{X =k\}=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}, k =0,1,2,…, P{X=k}=k!λke−λ​,k=0,1,2,…,其中$\lambda >0$是常数.则称$X$服从参数为$\lambda$的泊松分布，记为$X\sim \pi (\lambda )$。

(5) 几何分布

若随机变量$X$的分布律为$p+q=1$

$X$	1	2	…	k	…
$p_k$	$p$	$qp$	…	$q^k-1p$	…

则称$X$服从几何分布。

离散型随机变量常见分布

分布	标记方法	参数	分布律	实验
两点		$0<p<1$	P { X = k } = p k ( 1 − p ) 1 − k , k = 0 , 1 P\{X=k\}=p^k(1-p)^{1-k},k=0,1 P{X=k}=pk(1−p)1−k,k=0,1	只有两个结果的实验
二项	$X\sim b(n,p)$	$$\begin{gathered} n\ge 1 \\ 0<p<1 \end{gathered}$$	$P(X=k)=C_n^k{p}^k{q}^{n-k},k=0,1,2...$	贝努里实验
泊松	$X\sim \pi (\lambda )$	$\lambda >0$	P { X = k } = λ k e − λ k ! P\{X=k\}=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!} P{X=k}=k!λke−λ​	排队问题、某段时间意外发生的次数
几何		$0<p<1$	P { X = k } = ( 1 − p ) k − 1 p , k = 1 , 2 , . . . P\{X=k\}=(1-p)^{k-1}p,k=1,2,... P{X=k}=(1−p)k−1p,k=1,2,...	实验“首次成功”问题

$0x23$ 随机变量的分布函数

一、分布函数的概念

1. 概念的引入

对于随机变量$X$，我们不仅要知道$X$取哪些值，要知道$X$取这些值的概率；而且更重要的是想知道$X$在任意有限区间$(a,b)$内取值的概率。

2. 定义

设$X$是一随机变量，$x$是任意实数函数 F ( x ) = P { X ≤ x } = ∑ x i ≤ x p k F(x)=P\{X\leq x\}=\sum_{x_i\leq x}p_k F(x)=P{X≤x}=∑xi​≤x​pk​称为随机变量$X$的分布函数。

3. 几何意义

如果将$X$看成是数轴上的随机点的坐标，那么，分布函数$F(x)$在$x$处的函数值就表示$X$落在区间$[-\infty ,x]$上的概率。

二、分布函数的性质

（1）$0\le F(x)\le 1,x\in (-\infty ,\infty )$

（2）$F(x_1)\le F(x_2),(x_1<x_2)$

（3）$F(-\infty )=li{m}_{x\to -\infty }F(x)=0,F(\infty )=li{m}_{x\to \infty }F(x)=1$

（4）$li{m}_{x\to x_0^{+}}F(x)=F(x_0),（-\infty <x_0<\infty ）$

重要公式

（1） P { a < X ≤ b } = F ( b ) − F ( a ) P\{a<X\leq b\}=F(b)-F(a) P{a<X≤b}=F(b)−F(a)

（2） P { X > a } = 1 − F ( a ) P\{X>a\}=1-F(a) P{X>a}=1−F(a)

$0x24$ 连续型随机变量及其概率密度

一、概率密度的概念与性质

1. 定义

如果对于随机变量$X$的分布函数$F(x)$，存在非负函数，使对于任意实数$x$有$F(x)={\int }_{-\infty }^{x}f(t)dt$，则称$X$为连续型随机变量，其中$f(x)$称为$X$的概率密度函数，简称概率密度。

2. 性质

1. $f(x)\ge 0;$
2. ${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=1F(\infty )=1$
3. $P(x_1<X\le x_2)=F(x_2)-F(x_1)={\int }_{x_1}^{x_2}f(x)dx$
4. 若$f(x)$在点$x$处连续，则有$F^{{}^{\prime }}(x)=f(x)$
5. 连续型随机变量取值落在某一区间的概率与区间的开闭无关。
6. 对于离散型随机变量 $P(X=a)=0\to (X=a)是不可能事件$，但连续性不行。

二、常见连续型随机变量的分布

1. 均匀分布

定义

设连续性随机变量$X$具有概率密度
$$f(x)=\{\begin{array}{r}\frac{1}{b-a},a<x<b\\ 0,other\end{array}$$
则称$X$在区间$(a,b)$区间上服从均匀分布，记为 $X\sim U(a,b)$

意义

在区间$(a,b)$上服从均匀分布的随机变量$X$，落在区间$(a,b)$中任意等长度的子区间内的可能性是相同的。

分布函数

$$F(x)=\{\begin{array}{r}0,x<a\\ \frac{x-a}{v-a},a\le x<b\\ 1,x\ge b\end{array}$$

2. 指数分布

定义

设连续型随机变量$X$的概率密度为
$$f(x)=\{\begin{array}{r}\frac{1}{\theta }{e}^{-\frac{x}{\theta }},x>0\\ 0,x\le 0\end{array}$$
其中$\theta >0$为常数，则称$X$服从参数为$\theta$的指数分布。

分布函数

$$F(x)=\{\begin{array}{r}1-e^{-\frac{x}{\theta }},x>0\\ 0,x\le 0\end{array}$$

指数分布重要性质：无记忆性

3. 正态分布 / 高斯分布

定义

设连续型随机变量$X$的概率密度为
$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma }}{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}},-\infty <x<+\infty$$
其中$\mu \sigma (\sigma >0)$为常数，则称$X$服从参数为$\mu ,\sigma$的正态分布或高斯分布，记为$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$.

几何特征

1. 曲线关于$x=\mu$对称；
2. 当$x=\mu$时，$f(x)$取得最大值$\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma }}$
3. 当$x\to \pm \infty$时, $f(x)\to 0$
4. 曲线在$x=\mu \pm \infty$处有拐点
5. 曲线以$x$轴为渐近线
6. 当固定$\sigma$，改变$\mu$的大小时，$f(x)$图形的形状不变，只是沿着x轴作平移变换
7. 当固定$\mu$，改变$\sigma$的大小时，$f(x)$图形的对乘舟不变，而形状在变，$\sigma$越小 图形越高；$\sigma$越大，图形越矮

分布函数

$$F(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma }}{\int }_{-\infty }^x{e}^{-\frac{(t-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}dt$$

引理

若$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，则$Z=\frac{X-\mu }{\sigma }\sim N(0,1)$

学习总结常见连续型分布的相关知识，完成下表。

$ \ $	标记方法	概率密度函数及图像	参数	分布函数及图像	试验场景
均匀分布	$X\sim U(a,b)$	$ f(x)=\left{\begin{aligned}\frac{1}{b-a},\quad a<x<b\0,\quad\quad\quad\quad other\end{aligned}\right.$	连续型随机变量	$F(x)=\{\begin{array}{r}1-e^{-\frac{x}{\theta }},x>0\\ 0,x\le 0\end{array}$	落在各点概率相同
指数分布	X~	$ f(x)=\left{\begin{aligned}\frac{1}{\theta}e^{-\frac{x}{\theta}},\quad\quad x>0\0,\quad\quad x\leq 0\end{aligned}\right.$	连续型随机变量	$F(x)=\{\begin{array}{r}1-e^{-\frac{x}{\theta }},x>0\\ 0,x\le 0\end{array}$	某些元件或设备的寿命服从指数分布，例如无线电元件的寿命、 电力设备的寿命、动物的寿命等都服从指数分布.
正态分布	$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$	$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma }}{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}},-\infty <x<+\infty$	连续型随机变量	$F(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma }}{\int }_{-\infty }^x{e}^{-\frac{(t-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}dt$	正态分布是最常见最重要的一种分布，例如测量误差，人的生理特征尺寸如身高、体重等;正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量、高度等都近似服从正态分布

$0x25$ 随机变量函数的分布

一、离散型随机变量的函数分布

如果$X$是离散型随机变量，其函数$Y=g(X)$也是离散型随机变量。若X的分布律为

$X$	$x_1$	$x_2$	…	$x_k$	…
$P_k$	$p_1$	$p_2$	…	$p_k$	…

则$Y=g(X)$的分布律为

$Y=g(X)$	$g(x_1)$	$g(x_2)$	…	$g(x_k)$	…
$P_k$	$p_1$	$p_2$	…	$p_k$	…

若有$g(x_k)$取值相同，则应该合并$p_k$

已知离散型随机变量X的分布律 P { X = x k } = p k P\{X=x_k\}=p_k P{X=xk​}=pk​，总结求随机变量Y=g(X)的分布律的步骤方法。

1. 根据Y与X的关系得到Y的可能取值
2. 分别计算Y的不同取值的概率
3. 归纳出Y的分布律

二、连续性随机变量的函数分布

已知连续型随机变量$X$的概率密度$f(x)$，总结求随机变量$Y=g(X)$的分概率密度函数的步骤方法。

1. 先求分布函数
2. 再由分布函数求概率密度

F Y ( y ) = P { Y ≤ y } = P { g ( X ) ≤ y } = ∫ g ( x ) ≤ y f x ( x ) d x , ( − ∞ < x < + ∞ ) F_Y(y)=P\{Y\leq y\}=P\{g(X)\leq y\}=\int_{g(x)\leq y}f_x{(x)}dx,\quad (-∞<x<+∞) FY​(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}=∫g(x)≤y​fx​(x)dx,(−∞<x<+∞)

正态分布随机变量线性函数服从什么分布

服从正态分布

第三章 多维随机变量及其分布

$0x31$ 二维随机变量

一、二维随机变量及其分布函数

1、定义

设E是一个随机试验，它的样本空间是 S = { e } S=\{e\} S={e}，设$X=X(e)$和$Y=Y(e)$是定义在S上的随机变量，由它们构成的一个向量$(X,Y)$，叫作二维随机向量或二维随机变量。

二维随机变量$(X,Y)$的性质不仅与$X,Y$有关，而且还依赖于这两个随机变量的相互关系。

2、二维随机变量的分布函数(1)分布函数的定义

(1) 定义

设$(X,Y)$是二维随机变量，对于任意实数$x,y$，二元函数： F ( X , y ) = P { ( X ≤ x ) ∩ ( Y ≤ y ) } = P { X ≤ x , Y ≤ y } F(X,y)=P\{(X≤x)\cap(Y≤y)\}=P\{X ≤x,Y≤y\} F(X,y)=P{(X≤x)∩(Y≤y)}=P{X≤x,Y≤y}称为二维随机变量$(X,Y)$的分布函数，或称为随机变量$X$和$Y$的联合分布函数。

(2) 分布函数的性质

1. $F(x,y)$是变量$x$和$y$的不减函数，即对任意的定值$y$当$x_2>x_1$有$F(x_2,y)\ge F(x_1,y)$，$x$同理。

2. $0\le F(x,y)\le 1$ 且有：

   对任意的定值$y$，$F(-\infty ,y)=li{m}_{x\to -\infty }F(x,y)=0$，$x$同理。

   $$\begin{gathered} F(-\infty ,-\infty )=li{m}_{x\to -\infty ,y\to -\infty }F(x,y)=0 \\ F(+\infty ,+\infty )=li{m}_{x\to +\infty ,y\to +\infty }=1 \end{gathered}$$

3. $$\begin{gathered} F(x,y)=F(x+0,y) \\ F(x,y)=F(x,y+0) \end{gathered}$$ $F(x,y)$关于$x$右连续，也关于y连续。

4. 对于任意的 ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) , x 1 < x 2 , y 1 < y 2 , p = { x 1 < X ≤ x 2 , y 1 < Y ≤ y 2 } = F ( x 2 , y 2 ) − F ( x 2 , y 1 ) + F ( x 1 , y 1 ) − F ( x 1 , y 2 ) (x_1,y_1),(x_2,y_2),x_1<x_2,y_1<y_2,\\p=\{x_1<X\leq x_2,y_1<Y\leq y_2\}\\=F(x_2,y_2)-F(x_2,y_1)+F(x_1,y_1)-F(x_1,y_2) (x1​,y1​),(x2​,y2​),x1​<x2​,y1​<y2​,p={x1​<X≤x2​,y1​<Y≤y2​}=F(x2​,y2​)−F(x2​,y1​)+F(x1​,y1​)−F(x1​,y2​)

二、二维离散型随机变量

1. 定义

若二维随机变量$(X,Y)$所取的可能值是有限对或无限可列多对，则称$(X,Y)$为二维离散型随机变量。

2. 二维离散型随机变量的分布律

设二维离散型随机变量$(X,Y)$所有可能取的值为$(x_i,y_j),i,j=1,2\dots ,$记
P { X = x i , Y = y i } = p i j , i , j = 1 , 2 , … , ∑ i = 1 ∞ s u m j = 1 ∞ p i j = 1 F ( x , y ) = ∑ x i ≤ x ∑ y j ≤ y p i j P\{X =x_i,Y=y_i\}=p_{ij}, i, j =1, 2,…,\\\sum_{i=1}^{∞}sum_{j=1}^{∞}p_{ij}=1\\F(x,y)=\sum_{x_i\leq x}\sum_{y_j\leq y}p_{ij} P{X=xi​,Y=yi​}=pij​,i,j=1,2,…,∑i=1∞​sumj=1∞​pij​=1F(x,y)=∑xi​≤x​∑yj​≤y​pij​

称此为二维离散型随机变量$(X,Y)$的分布律，或随机变量$X$和$Y$的联合分布律。

三、二维连续型随机变量

1. 定义

对于二维随机变量$(X,Y)$的分布函数$F(x,y)$，如果存在非负的函数$f(x,y)$使对于任意$x,y$有
$$F(X,y)={\int }_{\infty }^y{\int }_{\infty }^{x}f(u,v)dudv$$
则称$(X,Y)$是连续型的二维随机变量，函数$f(x,y)$称为二维随机变量$(X,Y)$的概率密度，或称为随机变量$X$和$Y$的联合概率密度。

2. 性质

1. $f(x,y)\ge 0$

2. ${\int }_{-\infty }^{+-\infty }{\int }_{-\infty }^{+-\infty }f(x,y)dxdy=F(\infty ,\infty )=1$

3. 设$G$是$xoy$平面上的一个区域，点$(X,Y)$落在$G$内的概率为
   P { ( X , Y ) ∈ G } = ∮ G f ( x , y ) d x d y P\{(X,Y)\in G\}=\oint _Gf(x,y)dxdy P{(X,Y)∈G}=∮G​f(x,y)dxdy

4. 若$f(x,y)$在$(x,y)$连续，则有$\frac{{\vartheta }^{2}F(x,y)}{\vartheta x\vartheta y}$

3. 说明

几何上，z = f(x,y)表示空间的一个曲面。
$${\int }_{-\infty }^{+-\infty }{\int }_{-\infty }^{+-\infty }f(x,y)dxdy=F(\infty ,\infty )=1$$
表示介于f(x,y)和xoy平面之间的空间区域的全部体积等于1。
P { ( X , Y ) ∈ G } = ∮ G f ( x , y ) d x d y P\{(X,Y)\in G\}=\oint _Gf(x,y)dxdy P{(X,Y)∈G}=∮G​f(x,y)dxdy
P { ( X , Y ) ∈ G } P\{(X,Y)\in G\} P{(X,Y)∈G}的值等于以$G$为底，以曲面$z=f(x,y)$为顶面的柱体体积。

四、两个常用的分布

1. 均匀分布

定义

设$D$是平面上的有界区域，其面积为$S$，若二维随机变量$(X,Y)$具有概率密度
$$f(x,y)=\{\begin{array}{r}\frac{1}{S},(x,y)\in D\\ 0,otherwise\end{array}$$
则称$(X,Y)$在$D$上服从均匀分布。

二维正态分布

若二维随机变量$(X,Y)$具有概率密度

$$f(x,y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }{\sigma }_1{\sigma }_2\sqrt{1-p^2}}{e}^{\frac{-1}{2(1-p^2)}[\frac{(x-{\mu }_1{)}^2}{2{\sigma }_1^2}+\frac{(y-{\mu }_2{)}^2}{2{\sigma }_2^2}-\frac{2\rho (x-{\mu }_1)(y-{\mu }_2)}{{\sigma }_1{\sigma }_2}]},-\infty <x<+\infty ,-\infty <y<+\infty$$
其中${\mu }_1,{\mu }_2,{\sigma }_1,{\sigma }_2,\rho$均为常数，且${\mu }_1>0,{\mu }_2>0,-1<\rho <1$。则称$(X,Y)$服从参数为${\mu }_1,{\mu }_2,{\sigma }_1,{\sigma }_2,\rho$的二维正态分布.记为$(X,Y)\sim N({\mu }_1,{\mu }_2,{\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2,\rho )$

推广——$n$维随机变量的概念

定义

设$E$是一个随机试验，它的样本空间是 s = { e } s =\{e\} s={e}，设$X_1=X_1(e),X_2=X_2(e)\dots ,X_n=X_n(e)$，是定义在$S$上的随机变量，由它们构成的一个$n$维向量$(X_1,X_2,\dots ,X_n)$叫做$n$维随机向量或$n$维随机变量。
对于任意$n$个实数$x_1,x_2,\dots ,x_n$，$n$元函数 F ( x 1 , x 2 , … , x n ) = P { X 1 ≤ x 1 , X 2 ≤ x 2 , … , X n ≤ x n } F(x_1,x_2,…,x_n)=P\{X_1\leq x_1,X_2\leq x_2,…,X_n\leq x_n\} F(x1​,x2​,…,xn​)=P{X1​≤x1​,X2​≤x2​,…,Xn​≤xn​}称为随机变量$(X_1,X_2,\dots ,X_n)$的联合分布函数。

$0x32$ 边缘分布

一、边缘分布函数

字太多了，先敲到这。

二、离散型随机变量的边缘分布律

三、连续型随机变量的边缘分布

$0x31$ 条件分布

一、离散型随机变量的条件分布

二、连续型随机变量的条件分布

$0x34$ 相互独立的随机变量

一、随机变量的相互独立性

1. 定义

设 $F(x,y)$ 及 $F_x(x),F_y(y)$ 分别是二维随机变量 $(X,Y)$ 的分布函数及边缘分布函数。若对于所有$x$，$y$有 P { X ≤ x , Y ≤ y } = P { X ≤ x } P { Y ≤ y } P\{X ≤x,Y≤y\}=P\{X≤x\}P\{Y ≤y\} P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x}P{Y≤y} 即$F(x,y)=F_x(x)F_y(y)$则称随机变量$X$和$Y$是相互独立的。

2. 说明

二、二维随机变量的推广

1. 分布函数

$n$维随机变量$(X_1,X_2,\dots ,X_n)$的分布函数 F ( x 1 , x 2 , … , x n ) = P { X 1 ≤ x 1 , X 2 ≤ x 2 , , X n ≤ x n } F(x_1,x_2,…,x_n)=P\{X_1≤x_1,X_2 ≤x_2,,X_n ≤x_n\} F(x1​,x2​,…,xn​)=P{X1​≤x1​,X2​≤x2​,,Xn​≤xn​}其中$x_1,x_2,\dots ,x_n$为任意实数。

2. 概率密度函数

3. 边缘分布函数

4. 边缘概率密度函数

5. 相互独立性

6. 重要结论

二维正态分布(X,Y)，X和Y独立判定的充要条件？

$\rho =0$

$0x35$ 两个随机变量函数的分布

一、离散型随机变量函数的分布

若二维离散型随机变量的联合分布律为 P { X = x i , Y = y i } = P i j ， i , j = 1 , 2 , … , P\{X =x_i,Y=y_i\}=P_{ij}， i, j =1,2,…, P{X=xi​,Y=yi​}=Pij​，i,j=1,2,…,则随机变量函数$Z=g(X,Y)$的分布律为 P { Z = z k } = P { g ( X , Y ) = z k } = ∑ z k = g ( x i , y j ) P i j ,   k = 1 , 2 … P\{Z=z_k \} =P\{g(X,Y)=z_k\}=\sum_{z_k=g(x_i,y_j)}Pij, \ k =1,2… P{Z=zk​}=P{g(X,Y)=zk​}=∑zk​=g(xi​,yj​)​Pij, k=1,2…

二、连续型随机变量函数的分布

1. $Z=X+Y$的分布

说明

一般，$X,Y$相互独立且$X\sim N({\mu }_1,{\sigma }_1^2),Y\sim N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$。则$Z=X+Y$仍然服从正态分布，且有$Z\sim N({\mu }_1+{\mu }_2,{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2)$.

有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布。

推广 ：n个相互独立的T分布变量之和的情况.

若$X_1,X_2,\dots ,X_n$相互独立，且$X_i$，服从参数为${\alpha }_i,\beta (i=1,2,\dots ,n)$的$\Gamma$分布,则$X_1+X_2,+\dots +X_n$服从参数为${\sum }_{i=1}^n{\alpha }_i,\beta$的$\Gamma$分布。

2. $Z=\frac{X}{Y}$的分布

3. $M=max(X,Y)$ 及$N=min(X,Y)$的分布

推广

4. $Z=XY$的分布

$f_{XY}(z)={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{1}{|x|}f(x,\frac{z}{x})dx$

（4）计算以下三种常见分布随机变量函数的分布：

1）$X\sim B(n,p)，Y\sim B(m,p)$，且X与Y相互独立，则$X+Y\sim B(n+m,p)$
2）$X\sim P(\lambda 1)，Y\sim P(\lambda 2)$，且X与Y相互独立，则$X+Y\sim P({\lambda }_1+{\lambda }_2)$
3）$X\sim N({\mu }_1,{\sigma }_1^2)，Y\sim N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$，且X与Y相互独立，则$X+Y\sim ({\mu }_1+{\mu }_2+{\sigma }_1^2{\sigma }_2^2)$

第四章 随机变量的数字特征

$0x41$ 数学期望

一、数学期望的概念

1. 离散型随机变量的数学期望

2. 连续型随机变量的数学期望

二、数学期望的性质

三、随机变量函数的数学期望

$0x42$ 方差

一、随机变量方差的概念及性质

1. 方差的定义

2. 方差的意义

3. 随机变量方差的计算

4. 方差的性质

二、重要概率分布的方差

1. 两点分布

2. 二项分布

3. 泊松分布

4. 均匀分布

5. 指数分布

6. 正态分布

对比

$0x43$ 协方差及相关系数

一、协方差与相关系数的概念及性质

1. 定义

2. 说明

3. 协方差的计算公式

4. 性质

5. 结论

二、相关系数的意义

1. 问题的提出

2. 相关系数的意义

3. 注意

4. 相关系数的性质

$0x44$ 矩和协方差矩阵

一、基本概念

1. 定义

2. 说明

https://img-blog.csdnimg.cn/20210509000711494.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0t1aWNlcg==,size_16,color_FFFFFF,t_70

3. 协方差矩阵

4. 推广

二、n维正态变量的性质

第五章 大数定理和中心极限定理

$0x51$ 大数定理

一、 基本定理

定理一：契比雪夫定理的特殊情况

定理二：伯努利大数定理

定理三：辛钦定理

小结：

$0x52$ 中心极限定理

一、 基本定理

定理四：独立同分布的中心极限定理

定理五：李雅普诺夫定理

定理六：德莫佛一拉普拉斯定理

第六章 抽样分布

$0x61$ 随机样本

一、总体与个体

1. 总体

试验的全部可能的观察值称为总体.

2. 个体

总体中的每个可能观察值称为个体.

实例1

在研究2000名学生的
年龄时,这些学生的年龄的全体就构成一个总体,每个学生的年龄就是个体.

3. 容量

总体中所包含的个体的个数称为总体的容量.

4. 有限总体和无限总体

容量为有限的称为有限总体.容量为无限的称为无限总体.

实例2

某工厂10月份生产的灯泡寿命所组成的总体中,个体的总数就是10月份生产的灯泡数这是个有限总体;而该工厂生产的所有灯泡寿命所组成的总体是一个无限总体,它包括以往生产和今后生产的灯泡寿命.

5. 总体分布

一般地我们所研究的总体,即研究对象的某项数量指标X其取值在客观上有一定的分布,X是一个随机变量.
总体分布的定义：我们把数量指标取不同数值的比率叫做总体分布.

X的分布函数和数字特征就称为总体的分布函数和数字特征今后将不区分总体与相应的随机变量.

二、随机样本的定义

1. 样本的定义

设X是具有分布函数F的随机变量, 若X1,…,Xn是具有同一分布函数F、相互独立的随机变量,则称X,…,Xn为从分布函数F(或总体F、或总体X)得到的容量为n的简单随机样本,简称样本.
它们的观察值xp, X,…,x称为样本值,又称为X的n个独立的观察值.

2. 简单随机抽样的定义

三、小结

$0x62$ 直方图和箱线图

一、直方图

二、箱线图

疑似异常值

修正箱线图

三、小结

1. 密度直方图作图步骤

2. 箱线图作图步骤

$0x63$ 抽样分布

一、基本概念

1. 统计量的定义

2. 几个常见的统计量的定义

3. 经验分布函数

格里汶科定理

二、常见分布

统计量的分布称为抽样分布。

1. $x^2$分布

$x^2$的性质

1. $x^2$分布可加性

   

2. $x^2$分布的数学期望和方差

   

费希尔（R.A.Fisher）证明:

2. $t$分布

3. $F$分布

4. 正态总体样本均值与样本方差的分布

定理一

定理二

定理三

定理四

三、小结

第七章 参数估计

$0x71$ 点估计

一、点估计问题的提法

二、估计量的求法

由于估计量是随机变量，故对不同的样本值，得到的参数值往往不同，如何求估计量是关键问题。

常用构造估计量的方法：矩估计法和最大拟然估计法。

1. 矩估计法

2. 最大拟然估计法

三、小结

$0x73$ 估计量的评选标准

一、问题的提出

二、无偏性

三、有效性

四、相合性

五、小结

$0x74$ 区间估计

一、区间估计的基本概念

1. 置信区间的定义

2. 求置信区间的一般步骤

$0x75$ 正态总体均值与方差的区间估计

一、单个总体$N(\mu ,{\sigma }^2)$的情况

1. 均值$\mu$的置信区间

2. 方差${\sigma }^2$的置信区间

二、两个总体的情况

1. 两个总体均值差${\mu }_1-{\mu }_2$的置信区间

2. 两个总体方差比$\frac{{\sigma }_1^2}{{\sigma }_2^2}$的置信区间

三、小结

$0x76$ $(0-1)$分布参数的区间估计

一、置信区间公式

$0x77$ 单侧置信区间

一、问题的引入

二、基本概念

1. 单侧置信区间的定义

2. 正态总体均值与方差的单侧置信区间

三、小结

第八章 假设检验

$0x81$ 假设检验

一、假设检验的基本原理

如何利用样本值对一个具体的假设进行检验

二、假设检验的相关概念

1. 显著性水平

2. 检验统计量

3. 原假设与备择假设

4. 拒绝域与临界点

5. 两类错误及记号

6. 显著性检验

7. 双边备择假设与双边假设检验

8. 右边检验与左边检验

9. 单边检验的拒绝域

三、假设检验的一般步骤

四、小结

$0x82$ 正态总体均值的假设检验

一、单个总体均值$\mu$的检验

二、两个总体均值差的检验（$t$检验）

三、基于成对数据的检验（$t$检验）

四、小结

$0x83$ 正态总体方差的假设检验

一、单个正态总体方差的假设检验

二、两个正态总体方差的假设检验

三、小结