帕斯卡分布是负二项分布的一种特殊情况，描述了在一系列独立的伯努利试验中，需要进行多少次试验才能达到固定次数的成功。当试验成功概率为pp且目标是达到rr次成功时，随机变量X表示试验次数，其遵循帕斯卡分布。当r=1r=1时，帕斯卡分布退化为几何分布。帕斯卡分布与负二项分布常用于统计建模和概率论中，理解这两种分布对于概率论和统计学的学习至关重要。
帕斯卡分布
负二项分布的正整数形式，描述第n次成功发生在第x次的概率
定义
在重复、独立的伯努利试验，设每次试验成功的概率为
p
p
p，失败的概率为
q
=
1
−
p
q= 1- p
q=1−p，若将试验进行到出现
r
r
r (
r
r
r 为常数 ) 次成功为止，以随机变量
X
X
X表示所需试验次数，则 X是离散型随机变量，其概率分布为：
P
(
X
=
k
)
=
C
k
−
1
r
−
1
p
r
q
k
−
r
k
=
r
,
r
+
1
,
.
.
.
P(X=k)=C^{r-1}_{k-1}p^rq^{k-r}\quad k=r,r+1,...
P(X=k)=Ck−1r−1prqk−rk=r,r+1,...
当 r ∈ Z r\in Z r∈Z时，负二项分布又称帕斯卡分布
r = 1 r=1 r=1 时，负二项分布等于几何分布
若随机变量 X X X服从参数为 r r r和 p p p的负二项分布，则记为 X ∼ N B ( r , p ) X\sim NB(r,p) X∼NB(r,p)
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