2017 ACM-ICPC 亚洲区（西安赛区）网络赛 B

最新推荐文章于 2017-11-02 00:34:30 发布

Konago

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分类专栏： 2017西安网络赛文章标签： acm-icpc 网络亚洲 c++

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/K_ona/article/details/78006870

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探讨了使用不均匀硬币进行多次翻转后，正面朝上次数为偶数的概率计算方法。通过数学推导给出了一种高效的计算方案，并利用费马小定理解决了大数取模的问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Bob has a not even coin, every time he tosses the coin, the probability that the coin's front face up is $qp(qp≤12)\frac{q}{p}(\frac{q}{p} \le \frac{1}{2})$ .

The question is, when Bob tosses the coin $k$ times, what's the probability that the frequency of the coin facing up is even number.

If the answer is $XY\frac{X}{Y}$ , because the answer could be extremely large, you only need to print $X * Y^{-1}) \mod (10^9+7)$ .

Input Format

First line an integer $T$ , indicates the number of test cases ( $\le 100$ ).

Then Each line has $3$ integer $p,q,k(1≤p,q,k≤107)p,q,k(1\le p,q,k \le 10^7)$ indicates the i-th test case.

Output Format

For each test case, print an integer in a single line indicates the answer.http://write.blog.youkuaiyun.com/postedit

样例输入

2
2 1 1
3 1 2

样例输出

500000004

555555560

B	正确通过	2017-09-16 16:15:53	1ms	236kB	c++

推一下概率。

设一次向上的概率为x,向下的概率为y，x + y == 1

设A为向上n（n <=k,为偶数）次，则易知P（A） = C（k, n）x^n * y ^(k - n)

所以有 sigma（i = 0， k）= P（偶数次） + P（奇数次） = C（k, i）x^i * y ^(k - i) = （x + y）^ k = 1

为了得到偶数的概率，可以用-x替换上式的x

有sigma（i = 0， k） = C（k, i）（-x）^i * y ^(k - i) = （-x + y）^ k = （1 - 2 * x）^k

两式相加 = 1 + （1 - 2 * x）^k = 2 *P（偶数次）

所以 ans = (1 + （1 - 2 * x）^k) / 2

= (1 + (1 - 2 * q / p) ^ k) / 2

题目要求对1e9 + 7取模.除法用费马小定理求逆元（

因为 a ^ (p - 1) = 1 (mod p)

所以 a * a ^ (p - 2) = 1 (mod p)

所以此题a^(1e9 + 5)就是a的逆元

）


#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<map>
#include<cstdlib>
#include<string>
#include<set>
#include<stack>
#define mod 1000000007

using namespace std;

long long p, q, k;
long long  PowerMod(long long  a, long long  b)
{
    long long c = mod;
    long long  ans = 1;
    a = a % c;
    while(b)
    {
        if(b & 1)
            ans = (ans * a) % c;
        b >>= 1;
        a = (a * a) % c;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    int t;
    cin >> t;
    while(t--)
    {
        scanf("%lld %lld %lld", &p, &q, &k);
            long long ans = PowerMod(2, mod - 2);
            long long tmp = PowerMod(p, mod - 2);
            long long x = 1 + PowerMod(1 - 2 * q * tmp % mod, k);
            ans *= x;
            ans %= mod;
            cout << (ans + mod) % mod<< endl;
    }
    return 0;
}