牛客 计数器(裴蜀定理)

思路:这个题我们需要用到裴蜀定理，题目要求加若干次a1,a2...an然后模m有多少个不同的值，可以转换为a1*x1+a2*x2+...+an*xn有多少个不同的值，我将a1*x1+a2*x2+...+an*xn的值设为c,很显然，这个式子是裴蜀定理的推广，裴蜀定理（或贝祖定理，Bézout's identity）得名于法国数学家艾蒂安·裴蜀，说明了对任何整数a、b和它们的最大公约数d，关于未知数x和y的线性不定方程（称为裴蜀等式）：若a,b是整数,且gcd(a,b)=d，那么对于任意的整数x,y,ax+by都一定是d的倍数，特别地，一定存在整数x,y，使ax+by=d成立，其推广则是对于任意整数x1,x2,....,xn,a1*x1+a2*x2+...+an*xn都一定是gcd(a1,a2,...,an)的倍数。对于这道题，我们设d=gcd(a1,a2,...,an),通过定理不难知道a1*x1+a2*x2+...+an*xn值为k*d（k是个不定值）,而我们要求的是(k*d)%m有多少个不同的值，可以设(d*k)%m=p（p由d,k,m决定）,然后可以将这个式子转化为d*k-m*t=p(p<m)，从而变成了a*x+b*y的形式，从而利用上述定理推出p=gcd(d,m)*k'.。

代码:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define inf 0x3f3f3f3f
#define ll long long
const int maxn=1e2+9;
ll a[maxn];
ll gcd(ll a,ll b){
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
int main(){
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    ll i,j,k,n,m;
    cin>>n>>m;
    for(i=0;i<n;i++){
        cin>>a[i];
        a[i]=((a[i]%m)==0?m:a[i]%m);
    }
    ll d=m;
    for(i=0;i<n;i++){
        d=gcd(d,a[i]);
    }
    ll ans=m/d;
    cout<<ans<<endl;
}