51Nod 1076【无向图 判断是否同一环】

本文提供了一段使用C++实现的Tarjan算法代码,用于求解有向图中的强连通分量。通过深度优先搜索的方式为每个节点分配访问编号,并根据访问编号确定强连通分量。

模板题:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<LL,LL>PII;

const int nMax = 2e5+10;
int n,m;
int first[nMax],nxt[nMax],to[nMax],e;

void addadge(int u,int v)
{
    to[e]=v;
    nxt[e]=first[u];
    first[u]=e;
    e++;
    to[e]=u;
    nxt[e]=first[v];
    first[v]=e;
    e++;
}

int low[nMax],dfn[nMax],dep,belong[nMax],vis[nMax],st[nMax],top,cnt;

void tarjan(int u,int E)
{
    low[u] = dfn[u] = dep;
    dep++;
    vis[u] = 1;
    st[++top] = u;
    for(int i=first[u]; i!=-1; i=nxt[i])
    {
        if((E^1) == i) continue;
        if(!vis[to[i]])
        {
            tarjan(to[i],i);
            low[u] = min(low[u],low[to[i]]);
        }
        else
        {
            low[u] = min(low[u],dfn[to[i]]);
        }
    }
    if(low[u] == dfn[u])
    {
        do
        {
            belong[st[top]] = cnt;
        }
        while(top && st[top--] != u);
        cnt ++;
    }
}

void init(){
    e=0;
    dep=cnt=top=0;
    memset(low,0,sizeof(low));
    memset(dfn,0,sizeof(dfn));
    memset(nxt,-1,sizeof(nxt));
    memset(first,-1,sizeof(first));
}

int main(){
    int u,v;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    init();
    while(m--)
    {
        scanf("%d%d",&u,&v);
        addadge(u,v);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(!dfn[i]){
            tarjan(i,-1);
        }
    int q;
    scanf("%d",&q);
    while(q--){
        scanf("%d%d",&u,&v);
        if(belong[u] == belong[v]) puts("Yes");
        else puts("No");
    }
    return 0;
}
题目 51nod 3478 涉及一个矩阵问题,要求通过最少的操作次数,使得矩阵中至少有 `RowCount` 行和 `ColumnCount` 列是回文的。解决这个问题的关键在于如何高效地枚举所有可能的行和列组合,并计算每种组合所需的操作次数。 ### 解法思路 1. **预处理每一行和每一列变为回文所需的最少操作次数**: - 对于每一行,计算将其变为回文所需的最少操作次数。这可以通过比较每对对称位置的值是否来完成。 - 对于每一列,计算将其变为回文所需的最少操作次数,方法上。 2. **枚举所有可能的行和列组合**: - 由于 `N` 和 `M` 的最大值为 8,因此可以枚举所有可能的行组合和列组合。 - 对于每一种组合,计算其所需的最少操作次数,并取最小值。 3. **计算操作次数**: - 对于每一种组合,需要计算哪些行和列需要修改,并且注意行和列的交叉点可能会重复计算,因此需要去重。 ### 代码实现 以下是一个可能的实现方式,使用了枚举和位运算来处理组合问题: ```python def min_operations_to_palindrome(matrix, row_count, col_count): import itertools N = len(matrix) M = len(matrix[0]) # Precompute the cost to make each row a palindrome row_cost = [] for i in range(N): cost = 0 for j in range(M // 2): if matrix[i][j] != matrix[i][M - 1 - j]: cost += 1 row_cost.append(cost) # Precompute the cost to make each column a palindrome col_cost = [] for j in range(M): cost = 0 for i in range(N // 2): if matrix[i][j] != matrix[N - 1 - i][j]: cost += 1 col_cost.append(cost) min_total_cost = float('inf') # Enumerate all combinations of rows and columns rows = list(range(N)) cols = list(range(M)) from itertools import combinations for row_comb in combinations(rows, row_count): for col_comb in combinations(cols, col_count): # Calculate the cost for this combination cost = 0 # Add row costs for r in row_comb: cost += row_cost[r] # Add column costs for c in col_comb: cost += col_cost[c] # Subtract the overlapping cells for r in row_comb: for c in col_comb: # Check if this cell is part of the palindrome calculation if r < N // 2 and c < M // 2: if matrix[r][c] != matrix[r][M - 1 - c] and matrix[N - 1 - r][c] != matrix[N - 1 - r][M - 1 - c]: cost -= 1 min_total_cost = min(min_total_cost, cost) return min_total_cost # Example usage matrix = [ [0, 1, 0], [1, 0, 1], [0, 1, 0] ] row_count = 2 col_count = 2 result = min_operations_to_palindrome(matrix, row_count, col_count) print(result) ``` ### 代码说明 - **预处理成本**:首先计算每一行和每一列变为回文所需的最少操作次数。 - **枚举组合**:使用 `itertools.combinations` 枚举所有可能的行和列组合。 - **计算成本**:对于每一种组合,计算其成本,并考虑行和列交叉点的重复计算问题。 ### 复杂度分析 - **时间复杂度**:由于 `N` 和 `M` 的最大值为 8,因此枚举所有组合的时间复杂度为 $ O(N^{RowCount} \times M^{ColCount}) $,这在实际中是可接受的。 - **空间复杂度**:主要是存储预处理的成本,空间复杂度为 $ O(N + M) $。 ### 相关问题 1. 如何优化矩阵中行和列的枚举组合以减少计算时间? 2. 在计算行和列的交叉点时,如何更高效地处理重复计算的问题? 3. 如果矩阵的大小增加到更大的范围,如何调整算法以保持效率? 4. 如何处理矩阵中行和列的回文条件不时的情况? 5. 如何扩展算法以支持更多的操作类型,例如翻转某个区域的值?
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