树状数组总结

功能1：sum(x)返回原数组[1,x]的区间和，update(x,w)将原数组下标为x的数加上w。
这两个函数使用O(logn)的时间和O(n)的空间完成单点加减，区间求和的功能。


功能2：接下来做一些升级，让树状数组完成区间加减，单点查询的功能。
考虑将原数组差分，令d[i]=a[i]-a[i-1]，特别地，d[1]=a[1]。
那么区间[l,r]整体加上k的操作就可以简单地使用d[l]+=k;d[r+1]-=k来完成了。
此时a[i]=d[1]+..+d[i]，所以单点查询a[i]实际上就是在求d数组的[1..i]区间和，很容易完成了。


功能3：下面再升级一次，完成区间加减，区间求和的功能。
仍然沿用d数组，考虑a数组[1,x]区间和的计算。d[1]被累加了x次，d[2]被累加了x-1次，...，d[x]被累加了1次。
因此得到sigma(a[i])=sigma{d[i]*(x-i+1)}=sigma{ d[i]*(x+1) - d[i]*i }=(x+1)*sigma(d[i])-sigma(d[i]*i)
所以我们再用树状数组维护一个数组d2[i]=d[i]*i，即可完成任务。功能1：sum(x)返回原数组[1,x]的区间和，update(x,w)将原数组下标为x的数加上w。
这两个函数使用O(logn)的时间和O(n)的空间完成单点加减，区间求和的功能。