最长递增子序列(Longest Increasing Subsequence)-C语言实现

最长递增子序列(Longest Increasing Subsequence)

1. 前言

最长递增子序列属于经典的动态规划问题，属于约束条件下求最大子集的问题。这里的约束条件意思是，子序列需要严格按照递增条件产生，在这个前提之下，我们要求到最长的子序列。这类问题的衍生问题有很多，其本质都是穷举最大化子集。

2. 问题描述

问题其实非常简单，给你一个整数数组 arr ，找到其中最长严格递增子序列的长度。我们任意提取数组中的元素,元素下标有：
$$i_k<i_j<i_l<i_m$$
如果对应的值严格递增（不包括等于），
$$arr[i_k]<arr[i_j]<arr[i_l]<arr[i_m]$$
那么此子序列就是递增的子序列，其长度为4。

如果考虑最长递增子序列，那么就要穷举数组中的所有子序列，然后找到最大值。

3. 求解过程

为了深入学习动态规划的基本思维，我们坚持采用《算法导论》中的 CRCC方法对其进行分析，以便后续不断提升动态规划算法思维。求解动态规划框架分为四步。

a.) 表征优化问题的结构(Characterized the structure of the optimal solution)

首先给出例子，帮助理解整体的过程，

如果求出以index=6结尾的数组的最长递增子序列，那么我们可以遍历index=6之前所有元素，如果此元素小于6号元素的值，那么仅需把此元素处的LIS的值递增1即可，最后比较所有的可能。如果用图的术语解释，就是需要找到元素单调递增的最长路径（权值为1）。

如果需要计算以index=6为尾部的LIS值，可以用公式求解：
$$LIS[6]=ma$$