动态规划问题-最小编辑距离(Minimum Edit Distance)

动态规划问题-最小编辑距离(Minimum Edit Distance)

我们今天要探讨的动态规划问题来源于俄罗斯科学家Levenshtein提出的两个对象之间的不相似度，在音频、语言翻译等领域有广泛的应用。如果用于评估字符串之间的不相似度，那么又称为最小编辑距离MED(Minimum Edit Distance)，它规定从string 1到转换成 string 2的最少操作数，最少操作数(MED)越大， 那么两个字符串相似度越低；最少操作数(MED)越小，那么两个字符串的相似度就越高，如果两个字符串完全相同，那么最小编辑距离值为0。

今天要解决的问题来源于Leecode 问题 72， 问题描述：

给你两个单词 word1 和 word2， 请返回将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数 。

你可以对一个单词进行如下三种操作：

• 插入一个字符
• 删除一个字符
• 替换一个字符

这是典型的动态规划问题，因为word 1和word 2可以划分为子问题，而且子问题与原问题有类似的解结构。为了证明其是动态规划问题，借助《算法导论》中的CRCC 分析流程，对此问题进行解决分析。

1. 表征最优问题的结构(Characterize the structure of the optimal solution)

首先确定操作对象为word1当中的字符，需要确认将其转化为word2所使用的最少操作数(MED)，那么对于word1中的每个字符（包括∅),针对word1中的第i个字符，和word2中的第j个字符，有两大类：

如果word1[i]和word[j]相等，那么只需要把各自的操作对象字符往前移动一位，对于实际的最少操作数（MED)没有影响。如果word1[i]和word[j]不相等，面临三个选项：

​ a.) 删除操作，删除word1中的当前字符i

​ b.) 替换/更新操作，对于word1中的当前i字符，使用word2中的第j个字符进行替代

​ c.) 插入操作，在第i个位置插入word2的第j个字符

需要操作的动作是，三个选项都需要尝试，然后采纳操作数最小的操作动作。我们不排斥三个选择当中的任何一个，我们要做的是try them and try THEM ALL, 这个思想类似穷举法，我们对所有的可能都进行判断，然后择优选择。这一点也是动态规划不同于贪心算法的关键，贪心算法每一步只选择某个最优项目，无需对所有选择进行判断，然后基于当前最优前景的选择，进行下一步的相关操作。所以动态规划类似撒网，贪心算法类似垂钓，两类问题在对待子问题的选择上不同。

2. 递归定义最优解的值

接下来来到最关键的一步，通过递归来定义最优解的值，假定word1=<x1,x2,x3.xi…xm>, word2=<y1,y2,y3…yj.yn>，我们定义数组dp[i] [j]来定义<x1,x2,x3…xi>和<y1,y2,y3…yj>的最少操作数（MED)，对于最少操作数的矩阵dp[i] [j]，可以有下面的选择：

a.)如果x[i]==y[j]，那么dp[i] [j]=dp[i-1] [j-1], 也就是说，如果二者相等，<x1,x2,x3…xi>和<y1,y2,y3…yj>的最少操作数（MED)等于<x1,x2,x3…xi-1>和<y1,y2,y3…yj-1>的最少操作数(MED)。
$$dp[i][j]=dp[i-1][j-1],whenthex[i]equalstoy[j]$$

b.)如果x[i]≠y[j]，这时候需要从删除、插入、更新三个选择中选择最小的最少操作数(MED)，况且这三个选择的代价相同，无论选择哪一个，其最少操作数（MED)都需要追加1。

​ 接下来我们用公式表示这三个选择。
d p [ i ] [ j ] = m i n { d p [ i − 1 ] [ j ] + 1 , d p [ i ] [ j − 1 ] + 1 , d p [ i − 1 ] [ j − 1 ] + 1 } dp[i][j]=min\left\{dp[i-1][j]+1,dp[i][j-1]+1,dp[i-1][j-1]+1\right\} dp[i][j]=min{ dp[i−1][j]+1,dp[i][j−1]+1,dp[i−1][j−1]+1}
dp[i-1] [j]+1表示假定选择删除第word1中的第i个字符，作为最少操作数（MED)的情况，相当于word1指向i字符的指针先向前移动1位，同时由于word2中的第j位字符还没有进行任何比较（删除word1[i]后，无法进行比较），所