05概率论与数理统计笔记 数理统计基础——基于《概率论与数理统计》许忠好

总体与样本

总体：研究对象的全体
个体：组成总体的成员
样本：从总体中抽出的部分个体
样本容量：样本中样品个数

定义:
设X是具有分布函数F(x)的随机变量，若X1，X2……Xn是具有同一分布函数F（x)的相互独立的随机变量，称X1……Xn是来自总体X中的容量为n的简单随机样本，简称为样本
X1……Xn是一次实现x1……xn为样本观察值

经验分布函数
x1……xn是来自总体分布函数F(x)的样本
记$I_i(x)=\{\begin{array}{rlr}1& & x_i\le x\\ 0& & x_i>x\end{array}$
称函数$$F_n(x)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{I}_i(x)$$是经验分布函数

统计量

X1……Xn是取自某总体的样本，若样本函数T=T(X1……Xn）不含未知参数，称T是统计量
若x1……xn是样本观测值，称T(x1……xn）是T的样本值

样本均值 $\overline{X}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i$
样本方差 $S^2=\frac{1}{n-1}{\sum }_{i=1}^n(X_i-\overline{X}{)}^2$
样本标准差 $S=\sqrt{S^2}$
r阶原点矩$A_r=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i^r$
r阶中心矩$B_r=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n(X_i-\overline{X}{)}^r$

统计量的分布称为抽样分布

抽样分布

卡方分布

设随机变量$X_1\dots \dots X_n$独立同分布且服从标准正态分布$N(0,1)$，称随机变量${\chi }^2={\sum }_{i=1}^n{X}_i^2$服从自由度为n的${\chi }^2$分布
记为${\chi }^2\sim {\chi }^2(n)$

不难发现$E{\chi }^2=nVar{\chi }^2=2n$

定理
设随机变量$X_1\dots \dots X_n$独立同分布且服从正态分布$N(\mu ,{\sigma }^2)$，
有$$\sum _{i=1}^n(\frac{X_i-\mu }{\sigma }{)}^2\sim {\chi }^2(n)$$

t分布

$X\sim N(0,1)Y\sim {\chi }^2(n)$且X和Y相互独立
$$T=\frac{X}{\sqrt{Y/n}}\sim t(n)$$

1. $T\sim t(n)$,若$n\le 1$ 期望ET不存在，若n>1 ET=0
2. $T\sim t(n)$,$n>1$
   $$\begin{gathered} E|T{|}^k<\infty ,k<n \\ E|T{|}^k=\infty ,k\ge n \end{gathered}$$
3. $T\sim t(n)$,$n>2$,$VarT=\frac{n}{n-2}$
4. t(1)为柯西分布
5. n充分大可以用N(0,1)近似

F分布

$X\sim {\chi }^2(n)Y\sim {\chi }^2(m)F=\frac{X/n}{Y/m}\sim F(n,m)$

不难发现

1. $X\sim t(n)X^2\sim F(1,n)$
2. $F\sim F(n,m)1/F\sim F(m,n)$
3. $F_{\alpha }(n,m)F_{1-\alpha }(n,m)=1$

正态分布下的抽样总分步

Fisher定理

$X_1\dots \dots X_n$独立同分布且服从标准正态分布$N(\mu ,{\sigma }^2)$
$\overline{X}和S^2$是样本均值和样本方差且相互独立

$$\overline{X}\sim N(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n})$$$$\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n-1)$$$$\frac{\overline{X}-\mu }{S}\sqrt{n}\sim t(n-1)$$