本文详细介绍了概率论中的数学期望概念，包括离散和连续随机变量的期望计算，以及性质和定理。接着讨论了方差的定义、性质和协方差、相关系数的概念。最后，阐述了中心极限定理、大数定律等重要极限定理在概率统计中的应用。这些理论是理解和应用统计学的基础。
1 数学期望
一维变量
离散随机变量X具有分布列
P(X=xk)=pk,k=1,2,3……P(X = x_k) = p_k,k = 1,2,3……P(X=xk)=pk,k=1,2,3……
若级数
∑k=1∞xkpk绝对收敛，即∑k=1∞∣xk∣pk<∞\sum^∞_{k=1}x_kp_k 绝对收敛，即\sum^∞_{k=1}|x_k|p_k <∞ k=1∑∞xkpk绝对收敛，即k=1∑∞∣xk∣pk<∞
该级数就是X的数学期望
记为EX
连续型随机变量X有概率密度函数p(x)
∫−∞∞xp(x)dx收敛\int^∞_{-∞}xp(x)dx收敛∫−∞∞xp(x)dx收敛
于是上面的积分就是X的数学期望
注意：初等概率论数学期望EX都是有限制，不包括∞的情况，而有些分布数学期望不存在，比如柯西分布
定理
Y = f(X) 为随机变量X的函数，若数学期望E(f(X))
EY=E(f(X))={
∑kf(xk)pk离散∫−∞∞f(x)p(x)dx连续EY = E(f(X))=\left\{ \begin{aligned} \sum_{k}f(x_k)p_k& &离散 \\ \int^∞_{-∞} f(x)p(x)dx & & 连续\\ \end{aligned} \right.EY=E(f(X))=⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧k∑f(xk)pk∫−∞∞f(x)p(x)dx离散连续
性质
1)E( c ) = c
2)E(aX) = aEX
3)E(f(X)+g(X)) = E(f(X)) + E(g(X))
二维
定义
（X，Y）是二维随机变量，(EX,EY)是该变量的数学期望向量
定理
Z=g(X,Y)是二维随机变量的函数
EZ=Eg(X,Y){
∑i,jg(xi,yi)pij离散∬g(x,y)p(x,y)dxdy连续EZ = Eg(X,Y)\left\{ \begin{aligned} \sum_{i,j}g(x_i,y_i)p_{ij}& &离散 \\ \iint g(x,y)p(x,y)dxdy & & 连续\\ \end{aligned} \right.EZ=Eg(X,Y)⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧i,j∑g(xi,yi)pij∬g(x,y)p(x,y)dxdy离散连续
定理
1）E(f(X)+g(Y))=Ef(X)+Eg(Y)E(f(X) + g(Y)) = Ef(X)+Eg(Y)E(f(X)+g(Y))=Ef(X)+Eg(Y) 其中f和g为一元实值函数
2）X,Y相互独立，则E(f(X)g(Y))=Ef(X)Eg(Y)E(f(X)g(Y))=Ef(X)Eg(Y)
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