05概率论与数理统计笔记——数理统计基础——基于《概率论与数理统计》许忠好

总体与样本

研究对象的全体称为总体，把组成总体的每个成员称为个体

从总体中抽出的部分个体为样本，样本所含的个体称为样品，样本中样品个数称为样本容量

设X是分布函数F(x)的随机变量，若$X_1,X_2,...,X_n$是具有同一分布函数$F(x)$的相互独立随机变量，称$X_1,X_2,...,X_n$是来自总体X（或分布函数$F(x)$中容量为n的简单随机样本，简称为样本

经验分布函数

$x_1,...,x_n$是来自总体分布函数F(x)的样本，记$$I_i(x)=\{\begin{array}{rlr}1& & x_i\le x\\ 0& & x_i>x\end{array}$$
则函数$$F_n(x)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{I}_i(x)$$为经验分布函数

统计量

$X_1,X_2,...,X_n$是某总体样本，若样本函数$T=T(X_1,X_2,...,X_n)$不含任何未知参数，称T为统计量

常用统计量
样本均值
$$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$$
样本方差
$$S^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(X_i-\overline{X}{)}^2=\frac{1}{n-1}(\sum _{i=1}^n{X}_i^2-n{\overline{X}}^2)$$
样本标准差
$$S=\sqrt{S^2}$$
样本k阶原点矩
$$A_k=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^k$$
样本k阶中心距
$$B_k=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(X_i-\overline{X}{)}^2$$

不难发现$A_1=\overline{X},B_1=0$

抽样分布

卡方分布

$X_1,X_2,...,X_n$独立分布且服从标准正态分布$N(0,1)$,则称随机变量${\chi }^2={\sum }_{i=1}^n{X}_i^2$服从自由度为n的卡方分布
记为${\chi }^2\sim {\chi }^2(n)\sim Ga(\frac{n}{2},\frac{1}{2})$

不难发现数学期望为n，方差为2n
且卡方分布具有可加性

定理
$X_1,X_2,...,X_n$独立分布且服从标准正态分布$N(\mu ,{\sigma }^2)$
于是有
$${\chi }^2=\sum _{i=1}^n(\frac{X_i^2-\mu }{\sigma }{)}^2$$

t分布

$X\sim N(0,1)Y\sim {\chi }^2(n)$ X和Y相互独立
随机变量$T=\frac{X}{\sqrt{Y/n}}$满足自由度为n的t分布，记为$T\sim t(n)$

性质
1）$T\sim t(n)$，$n\le 1$则ET不存在，n >1则ET=0
2）$T\sim t(n)$，n >1
$$E|T{|}^k=\{\begin{array}{rlr}<\infty & & k<n\\ =\infty & & k\ge n\end{array}$$
3)$T\sim t(n)$,n>2 $VarT=\frac{n}{n-2}$
4)t(1)是柯西分布
5）n充分大可以用标准正态分布来近似

F分布

$X\sim {\chi }^2(n)Y\sim {\chi }^2(m)$
$F=\frac{X/N}{Y/M}$为自由度为(n,m)的F分布

性质
1）$X\sim t(n)$,则$X^2\sim F(1,n)$
2)$F\sim F(n,m),1/F\sim F(m,n)$
3)$F_{\alpha }(n,m)F_{1-a}(m,n)=1$

正态总体下抽样分布

Fisher定理
$X_1,X_2,...,X_n$独立分布且服从标准正态分布$N(\mu ,{\sigma }^2)$,$\overline{X}和S^2$是样本均值和样本方差，则他们独立且
1）
$$\overline{X}\sim N(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n})$$
2)
$$\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n-1)$$
3)
$$\frac{\overline{X}-\mu }{S}\sqrt{n}\sim t(n-1)$$

定理
$X_1,X_2,...,X_m$独立分布且服从标准正态分布$N({\mu }_1,{\sigma }_1^2)$
$Y_1,Y_2,...,Y_n$独立分布且服从标准正态分布$N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$
$$\overline{X}=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m{X}_i\overline{Y}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{Y}_i$$

$$S_X^2=\frac{1}{m-1}\sum _{i=1}^m(X_i-\overline{X}{)}^2{S}_Y^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(Y_i-\overline{Y}{)}^2$$

1）
$$\overline{X}-\overline{Y}\sim N({\mu }_1-{\mu }_2,\frac{{\sigma }_1^2}{m}+\frac{{\sigma }_2^2}{n})$$

2）若${\sigma }_1={\sigma }_2=\sigma$
$$\frac{\overline{X}-\overline{Y}-({\mu }_1-{\mu }_2)}{S_W\sqrt{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}}}$$
其中
$$S_W^2=\frac{(m-1)S_X^2+(N-1)S_Y^2}{m+n-2}$$

$$F=\frac{S_X^2/{\sigma }_1^2}{S_Y^2/{\sigma }_2^2}\sim F(m-1,n-1)$$