02概率论与数理统计笔记 一维随机变量——基于《概率论与数理统计》许忠好

一维随机变量

2.1随机变量的定义及其分布

定义 定义在Ω上实值函数X = X（ω）为随机变量，对任意实数x{x∈Ω，X（ω） <=x} ∈𝓕
Bernoulli随机变量 只有两个取值的随机变量
PS: 任一随机事件都可以用随机变量来刻画

$$I_{A\omega }=\{\begin{array}{rlr}1& & 若\omega \in A\\ 0& & 若\omega \in \overline{A}\end{array}$$

标记
1）随机变量是函数，定义域为Ω，值域是R
2）{X = k}和{a＜X≤ b}是随机事件
3）{X = k} = {X ≤ k} - {X < k} { a ≤ X < b } = { x ＜ b } - { x ≤ a }
4） 同一样本空间可以定义不同的随机变量

分布函数

设X是随机变量，对于任意实数x，称F（x） = P（X≤x）为X的分布函数

例子
Ω={H,F},F={Ω,∅,{H}{T}} Ω = \{H,F\}, \mathcal{F} = \{\Omega ,\empty,\{H\}\{T\} \} \\ Ω={H,F},F={Ω,∅,{H}{T}}
$$Y(\omega )=\{\begin{array}{rlr}1& & 若\omega =T\\ 0& & 若\omega =H\end{array}$$
{Y≤y}={∅y<0{H}0≤y≤1Ω1≤y\{Y≤y\} = \left\{ \begin{aligned} \empty& &y<0 \\ \{H\} & &\quad\quad 0≤y≤ 1\\ \Omega && 1≤y \\ \end{aligned} \right.{Y≤y}=⎩⎨⎧​∅{H}Ω​​y<00≤y≤11≤y​
$$F(y)=P(Y\le y)=\{\begin{array}{rlr}0& & y<0\\ \frac{1}{2}& & 0\le y\le 1\\ 1& & 1\le y\end{array}$$

性质
1）单调性：
x<y于是又F(x) ≤ F(y)
2）有界性
0≤F（x) ≤1,趋于正无穷是1，趋于负无穷是0
3）右连续性F（x+0) = F(x)

定理
1)P(X > x) = 1 - F(x)
2)P(X < x) = F(x - 0)
3)P(X = x) = F(x) - F( x - 0 )
4)P(X ≥ x) = 1 - F( x - 0 )
5)P (a < X ≤ b) = F(b) - F(a)
6)P (a < X < b) = F(b - 0) - F(a)
7)P (a ≤ X < b) = F(b - 0) - F(a - 0)
8)P (a ≤ X ≤ b) = F(b) - F(a - 0)

2.2离散型随机变量

定义：X可能取值有限或可列，X具有离散型分布
$$p_k=P(X=x_k)k=1,2\dots \dots$$
为X的分布列或概率函数
可用表格表示

单点分布满足P(X = c) = 1
分布列性质
1）非负性，pk≥0
2）正则性，累加 == 1

定理1
$$\begin{gathered} p_k=P(X=x_k)k=1,2\dots \dots \\ F(x)=\sum _{k:x_k\le x}{p}_k \end{gathered}$$
定理2
$$\begin{gathered} D\subset R,X有p_k:k\ge 1 \\ P(X\in D)=\sum _{k:x_k\in D}{p}_k \end{gathered}$$

PS：
F(x)是离散型随机变量X的分布函数，则F(x)
1）单调不降的阶梯函数
2）间断点右连续
3）断点处为X的可能取值
4）断点处跳跃高度是对应的概率值

定理3
F(x)离散型随机变量X的分布函数,X取点x1,x2……
$$P(X=x_k)=F(x_k)-F(x_k-0)$$

2.3特殊的离散分布

二项分布：

X表示n次Bernoulli实验中成功次数
$$P(X=k)=C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$$
记为$$X\sim b(n,p)$$

几何分布：

X表示Bernoulli实验第一次成功次数
$$P(X=k)=p(1-p{)}^{k-1}$$
有无记忆性
$$P(X>m+n|X>m)=P(X>n)$$即前m次不成功条件下，接下来n次实验未成功概率和m无关
记为$$X\sim Ge(p)$$

负二项分布（帕斯卡分布）

X表示Bernoulli实验第r次成功总试验次数
$$P(X=k)=C_{k-1}^{r-1}{p}^r(1-p{)}^{k-r}$$
记为$$X\sim Nb(r,p)$$
注意，r == 1的时候退化为几何分布

泊松分布

λ > 0
$$P(X=k)=\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-k}$$
记为
$$X\sim P(\lambda )$$

超几何分布

n≤N，m≤M
$$P(X=k)=\frac{C_M^k{\dot{C}}_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}$$
记为
$$X\sim h(n,N,M)$$

2.4连续型随机变量

设随机变量X的分布函数是F(x)，若存在非负函数p(x)，对任意实数x
$$F(x)={\int }_{\infty }^{x}p(t)dt$$
1）连续随机变量的分布函数F(x)为连续函数
2）对实数a，P(X = a) = F(a) - F(a - 0) = 0
3）由定义，若x是分布函数F的可导点，px = (dF/dx) (x),若F不可导，p(x)可以是任意实数，但为了方便定义p(x) = 0

性质
1）非负性
2）正则，积分==1

定理1
$$P(X\in D)={\int }_{D}p(x)dx$$
注意：概率密度函数不是概率
定理2
偶函数p(x)
$$F(-a)=\frac{1}{2}-{\int }_0^{a}p(x)dx$$
$$F(a)+F(-a)=1$$

特殊的连续分布

正态分布

p(x)=1σ2πexp{−(x−μ)22σ2}p(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}exp \lbrace -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\rbracep(x)=σ2π​1​exp{−2σ2(x−μ)2​}
其中μ和σ都大于0
记
$$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$$
当μ=0，σ=1的时候，称X服从标准正态分布
记为
$$\phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-x^2/2}$$

性质
1）p（x）在x=μ取最大值
2）μ变左右移动
3）σ变陡峭程度变

均匀分布

$$p(x)=\{\begin{array}{rlrlr}0& & & & x<0\\ \frac{1}{b-a}& & & & a\le x\le b\end{array}$$
记为$$X\sim U[a,b]$$

$$F(x)=\{\begin{array}{rlrlr}0& & & & 0<a\\ \frac{x-a}{b-a}& & & & a\le x\le b\\ 1& & & & x>b\end{array}$$

Gamma分布

$$p(x)=\{\begin{array}{rlr}\frac{{\lambda }^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}{x}^{\alpha -1}{e}^{-\lambda x}& & x>0\\ 0& & x\le 0\end{array}$$
记为$$X\sim Ga(\alpha ,\lambda )$$
α=1时候变为X服从λ的指数分布
Exp(λ)
$$p(x)=\{\begin{array}{rlr}\lambda e^{-\lambda x}& & x>0\\ 0& & x\le 0\end{array}$$

指数分布也没有记忆性
$$F(x)=\{\begin{array}{rlr}1-e^{-\lambda x}& & x>0\\ 0& & x\le 0\end{array}$$

柯西分布

$$p(x)=\frac{1}{\pi (1+x^2)}$$
$$F(x)=\frac{1}{\pi }(arctanx+\frac{\pi }{2})$$

幂律分布

$$p(x)=\{\begin{array}{rlr}(\gamma -1)x^{-\gamma }& & x>1\\ 0& & x\le 1\end{array}$$