04笔记 离散数学——关系——基于离散数学(第3版)_章炯民,陶增乐

本文详细阐述了关系的概念,包括二元关系、函数、逆关系、补关系、复合关系和幂。介绍了自反、对称、传递等性质,以及等价关系、划分和偏序关系。特别讨论了等价类、哈斯图和全序集,深入探讨了关系的闭包和性质。

摘要生成于 C知道 ,由 DeepSeek-R1 满血版支持, 前往体验 >

关系的概念

X,Y是集合,R是X×Y的子集,则称R是X到Y的二元关系,若X=Y,称R为X上的关系,(x,y)∈R,称x,y满足关系R,记为xRy,x是y的前件,y是x的后键

定义
设R是X到Y的二元关系,R的定义域记为dom(R),R的值域记为ran( R )
dom(R)={x∣x∈X,且存在y∈Y使(x,y)∈R}dom(R) = \{x|x∈X,且存在y∈Y使(x,y)∈R\}dom(R)={xxX,且存在yY使(x,y)R}
ran(R)={y∣y∈Y,且存在x∈X使(x,y)∈R}ran(R) = \{y|y∈Y,且存在x∈X使(x,y)∈R\}ran(R)={yyY,且存在xX使(x,y)R}

空关系:空集
全关系:X×Y
恒等关系:{(x,x)|x∈X}

函数
X到Y的函数f使X到Y的二元关系
1)dom(f) = X
2)∀x∈X,y1,y2∈Y,(x,y1)∈f∧(x,y2)∈f→y1=y2\forall x∈X,y_1,y_2∈Y,(x,y_1)∈f\land(x,y_2)∈f \rightarrow y_1=y_2xXy1y2Y,(x,y1)f(x,y2)fy1=y2

二元关系表示

1)表示集合的方法
2)关系图
用X,Y与那表示图中的顶点,一般X左Y右,当(x,y)∈R,则用有向边从x画到y,x=y的时候要画个圈
在这里插入图片描述

3) 关系矩阵
m×n矩阵,属于取1,不属于取0

n元关系

X1……Xn是n个集合
X1×……×Xn的子集R 是n元关系

关系的运算

逆关系
R−1={(y,x)∣(x,y)∈R} ⊆Y×XR^{-1}=\{(y,x)|(x,y)∈R\}\ \subseteq Y×XR1={(y,x)(x,y)R} Y×X
补关系
x<y
逆关系是x>y
补关系是x≥y
复合关系
R={(x,z)∣x∈X,z∈Z且存在y属于Y,(x,y)∈R,(y,z)∈S}R=\{(x,z)|x∈X,z∈Z且存在y属于Y,(x,y)∈R,(y,z)∈S\}R={(x,z)xXzZ且存在y属于Y(x,y)R,(y,z)S}

复合关系不满足交换律
并不是任何两个关系都可以复合


设R是X上的关系,n∈N
R的n次幂R^n
Rn={IXn=0Rn−1R其他R^n=\left\{ \begin{aligned} I_X& &n=0 \\ R^{n-1} R & &其他\\ \end{aligned} \right.Rn={IXRn1Rn=0其他

限制
设R是X上的关系,Y是X的子集,则Y上的关系{(x,y)|x、y∈Y,且(x,y)∈R} 称R在Y上的限制

关系运算性质

(R−1)−1=R(R^{-1})^{-1}=R(R1)1=R
(R∪S)−1=R−1∪S−1(R∩S)−1=R−1∩S−1(R\cup S)^{-1}=R^{-1}\cup S^{-1}\quad (R\cap S)^{-1}=R^{-1}\cap S^{-1}(RS)1=R1S1(RS)1=R1S1
(R∘S)−1=S−1∘R−1(R\circ S)^{-1}=S^{-1}\circ R^{-1}(RS)1=S1R1
(R∘S)∘T=R∘(S∘T)(R\circ S)\circ T = R\circ (S\circ T)(RS)T=R(ST)

定理
设R是X上的关系,则对任意正整数n和任意x,y∈X,(x,y)∈R^k
等价于存在 n+1元组(x0……xn)∈X^{n+1}
其中x0 = x,xn = y.对于任意i,(x_i,x_{i+1})∈R

推论1
R是X的关系,m、n∈N
RmRn=Rm+nR^mR^n = R^{m+n}RmRn=Rm+n
推论2
设R是有限集X上的关系,|X|=n,n∈N,对任意x,y∈X,m∈N,若(x,y)∈Rm,存在k∈N,k≤n,使得(x,y)∈Rk

推论3
|X|=n
⋃m=1∞Rm=⋃m=1nRm\bigcup^∞_{m=1}R^m=\bigcup^n_{m=1}R^mm=1Rm=m=1nRm

关系特殊性质 闭包

特殊性质
1)x∈X,总有(x,x)∈R,R是X上的自反关系
2)x∈X,总有(x,x)不属于R,R是X上的反自反关系
3)x、y∈X,只要(x,y)∈R,就有(y,x)∈R,R是X上的对称关系
4)x、y∈X,只要(x,y)∈R且(y,x)∈R就有x=y,R是X上的反对称关系
5)3)x、y、z∈X,只要(x,y)∈R且(y,z)∈R,就有(x,z)∈R,R是X上的传递关系

符号表示
1)自反
Ix⊆RI_x \sube RIxR
2)反自反
R∩IX=∅R\cap I_X = \emptyRIX=
3)对称关系
R−1=RR^{-1}=RR1=R
4)反对称
R∩R=1⊆IXR\cap R^{=1}\sube I_XRR=1IX
5)传递关系等价于
R2⊆RR^2\sube RR2R
推导于(不等价,下不能推传递
Rn⊆RR^n\sube RRnR

关系矩阵中表示
1)自反,对角线为1
2)反自反 对角线为0
3)矩阵对称
4) 矩阵对称位置至少一个0

关系图表示
1)自反 顶点有环
2)反自反 顶点无环
3)对称 顶点间有边且必有两条相反边
4) 反对称 关系图至多一条边

闭包

定义
R是X关系,P是关系性质,包含R的、具有性质P、X上最小关系称为R的P闭包

R的P闭包是X上的一个关系RP,满足
1)R⊆RPR\sube R^PRRP
2)RP具有性质PR^P具有性质PRP具有性质P
3)对任意X上的关系R‘,若R’有性质P
若R⊆R′,则RP⊆R′若R\sube R',则R^P\sube R'RR,RPR

比如R是X的关系,X上包含R最小的传递关系就是R的传递闭包 如果X上关系T有以下性质
1)R⊆TR\sube TRT
2)T是传递的
3)任何X上包含R的传递关系包含T
则T是R的传递闭包

定理
r自反闭包,s对称闭包,t传递闭包
1)r(R)=r∪IXr(R)=r\cup I_Xr(R)=rIX
2)s(R)=R∪R−1s(R)=R\cup R^{-1}s(R)=RR1
3)t(R)=⋃n=1∞Rnt(R) = \bigcup^∞_{n=1}R^nt(R)=n=1Rn

等价关系和划分

等价关系
定义:
同时满足自反、对称、传递关系的关系
若R是X上的等价关系,xRy,则称xRy关于R等价
1)恒等关系 全关系都是等价关系
2)R的≤关系不是等价关系
3)xRy定义为:x和y姓氏相同,R是等价关系
4)xSy,x和y具有相同的父亲或母亲,S不是等价关系

等价类
定义:
x关于R的等价类[x]R:{y∣y∈X,且yRx}⊆XR:X上的等价关系,x∈X[x]_R:\{y|y∈X,且yRx\}\sube X\\ R:X上的等价关系,x∈X[x]R:{yyX,且yRx}XR:X上的等价关系,xX
等价类【x】_R的代表元 x

模m的同余关系R_m和同余类
1)
Rm={(x,y)∣x,y∈Z,x≡y(mod m)},m∈NR_m=\{(x,y)|x,y∈Z,x≡y(mod\ m)\},m∈NRm={(x,y)x,yZxy(mod m)},mN
R_m是Z上的等价关系
2)对于Z模3的同余关系R_3
0,1,2所在的等价类
[0]R3={3n∣n∈Z}[1]R3={3n+1∣n∈Z}[2]R3={3n+2∣n∈Z}[0]_{R3} = \{3n|n∈Z\}\\ [1]_{R3} = \{3n + 1|n∈Z\}\\ [2]_{R3} = \{3n + 2|n∈Z\}\\ [0]R3={3nnZ}[1]R3={3n+1∣nZ}[2]R3={3n+2∣nZ}

定理
R是等价关系
1)xRy⇒[x]R==[y]RxRy \Rightarrow [x]_R == [y]_RxRy[x]R==[y]R
2)¬xRy⇒[x]R∪[y]R=∅\lnot xRy \Rightarrow [x]_R\cup [y]_R = \empty¬xRy[x]R[y]R=
3)⋃x∈X[z]R=X\bigcup_{x∈X}[z]_R = XxX[z]R=X

性质
1)等价类任意元素都可以作为等价类的代表元素
2)任意两个等价类,相等或无公共元素
3)等价类是所有那些互相等价的元素组成

商集
X关于R的商集X/R:X关于R的所有等价类组成的集合
X/R = {[x]_R| x ∈ R}
R: X上的等价关系

比如
Z/R3={[0]R3,[1]R3,[2]R3}Z/R3 = \{[0]_{R3},[1]_{R3},[2]_{R3}\}Z/R3={[0]R3,[1]R3,[2]R3}

划分

x的划分pi

π⊆P(X)∀A∈π,A≠∅∀A,B∈π,(A=B∨A∩B=∅)∪π=X\pi \sube P(X) \\ \forall A ∈ \pi,A≠\empty \\ \forall A,B∈\pi ,(A = B\lor A\cap B = \empty )\\ \cup \pi = X πP(X)Aπ,A=A,Bπ,A=BAB=π=X
定理
R是X的等价关系
X/R是X的划分

pi是X的划分,定义R关系如下
R={(x,y)∣x,y∈π的同一个划分块}R=\{(x,y)|x,y∈\pi的同一个划分块\}R={(x,y)x,yπ的同一个划分块}
R是X上的等价关系

偏序关系

X是集合,X上自反反对称传递的关系是X上的偏序关系,简称偏序,也称为部分序关系

若≤是X的偏序,对于X任意两个元素x,y,x≤y或y≤x总有一个成立,称≤是X上的全序关系
若≤是X的偏序,X和偏序≤合称为偏序集,记为二元组(X,≤)若≤是集合X上的全序,称(X,≤)是全序集

x,y∈X,若有x≤y或y≤x称x和y关于偏序≤是可比较的

哈斯图

定义
偏序集合(X,≤) x,y∈X
y覆盖xx<y∧¬∃z∈X使得x<z<yx<y\land \lnot \exist z∈X使得x < z < yx<y¬∃zX使得x<z<y
y是x的直接后继

哈斯图
节点x和y之间箭头相连当且仅当y覆盖x且y位于x上方,默认每个点都有环故不画环

性质
(X,≤)偏序集,a∈X
1)任意x∈X,有x≤a,称a是(X,≤)的最大元
2)a≤x,称a是(X,≤)的最小元
3)不存在x属于X让a<x,a是(X,≤)的极大元
4)x<a,a是(X,≤)的极小元

最大(小)元最多一个或没有
极大(小)元可以有多个或没有
极大(小)元不一定是最大(小)元
最大元一定是极大元
当最大(小)元存在,极大(小)元只有一个
全序集极大(小)元一定是最大(小)元

评论
添加红包

请填写红包祝福语或标题

红包个数最小为10个

红包金额最低5元

当前余额3.43前往充值 >
需支付:10.00
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包
实付
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明:

1.余额是钱包充值的虚拟货币,按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载,可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值