课后自主练习（递归）1063. 统计字符串个数 medium《编程思维与实践》个人学习笔记（review)

题目

在 0 和 1 组成的长度为n (n<=20) 的字符串中，输出不包含 “101”子串的字符串的个数。

输入格式
本题有多组测试数据。每组测试数据占一行，含一个正整数 ，表示字符串的长度。n = -1 表示输入结束。

输出格式
对每组测试数据，在一行中输出表示不包含 “101”子串的字符串的个数。

思路①

①假定长 n-1且不含101的字符串 ⌂⌂ ⌂⌂⌂末尾加上0变成 ⌂⌂ ⌂⌂⌂0 显然也符合题目的条件，数量为$$f(n-1)$$
②长 n-1且不含101的字符串 ⌂⌂ ⌂⌂⌂末尾加上1变成 ⌂⌂ ⌂⌂⌂1 的时候，我们需要考虑⌂⌂ ⌂⌂⌂是⌂⌂ ⌂10的情况，这种情况下要剔除掉
末尾直接加1（不考虑末尾是10)的数量为
$$f(n-1)$$
③但是我们不能直接减去 ⌂⌂⌂10【即f(n-3)】的数量
这相当于你先找出来n-3长度的字符串再加上10的数量
但是你不能保证从 ⌂⌂⌂10 提取出的前n-3个字符串 ⌂⌂ ⌂ 不是 ⌂10 的形式（用用递归思想想）如果⌂⌂⌂的形式也是 ⌂10 的话，这就会导致⌂1010为末尾的数据并不会在f(n-1）中包含，导致错减

所以要分类讨论找出来⌂⌂⌂10的表达形式

④前n-1的字符串的末尾可以是以下形式
⌂⌂⌂⌂1 和 ⌂⌂⌂⌂0
前者加1是没有问题的，关键是⌂⌂⌂⌂0这个形式末尾+1是会导致不符合题目要求
⌂⌂⌂⌂0对应的数量就是
$$f(n-2)$$

⑤所以再对⌂⌂⌂⌂0字符串进行分类讨论
可以是
⌂⌂⌂10 和 ⌂⌂⌂00
后者加起来是符合要求的，但是前者不符合要求
前者⌂⌂⌂10的表达式应该是
⌂⌂⌂⌂0的数量-⌂⌂⌂00的数量，即
$$f(n-2)-f(n-3)$$

于是我们得到

f(n)=f(n−1)+{f(n−1)−[f(n−2)−f(n−3)]}f(n) = f(n-1) + \{f(n-1)-[f(n-2 )-f(n-3)]\}f(n)=f(n−1)+{f(n−1)−[f(n−2)−f(n−3)]}

代码

#include<iostream>
using namespace std;



int main()
{
    long long arr[21];
    arr[0] = 0;
    arr[1] = 2;
    arr[2] = 4;
    arr[3] = 7;
    for(int i = 4; i < 21; i++)
    {
        arr[i] = arr[i - 1] * 2 - arr[i - 2] + arr[i - 3];
    }
    
    int n;
    while((cin >> n)&& n != -1)
    {
        cout << arr[n]<<endl;
    }
    return 0;
}

思路②

①②步和思路1一样
但是我们把f(n-1)的满足题目要求的字符串分开储存
用f0[]储存末尾为0的数量
f1[]储存末尾为1的数量
于是我们轻易的得到了f0[]的递推关系
$$f_0(n)=f_0(n-1)+f_1(n-1)$$
接下来考虑f1(n）的递推
⌂⌂⌂⌂⌂1要剔除掉⌂⌂⌂101这种情况
考虑到f1(n-2)的末尾一定是1
⌂⌂⌂1再续上01恰好就是⌂⌂⌂101的情况，对应的⌂⌂⌂1的数量即为f1(n-2)

$$f_1(n)=f_0(n)-f_1(n-2)$$

代码

#include<iostream>
using namespace std;



int main()
{
    long long a[21];
    long long b[21];
    a[0] = 0;
    a[1] = 1;
    b[0] = 0;
    b[1] = 1;
    for(int i = 2; i < 21; i++)
    {
        a[i] = a[i - 1] + b[i - 1];
        b[i] = a[i] - b[i - 2];
    }
    
    int n;
    while((cin >> n)&& n != -1)
    {
        cout << a[n]+b[n]<<endl;
    }

    return 0;
}