有向图生成树个数（bzoj 4894: 天赋）

最新推荐文章于 2025-06-23 19:48:13 发布

Jaihk662

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分类专栏： # 图论 # Extra 文章标签： bzoj

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本文探讨了一个类似游戏中的天赋学习问题，即如何计算出学习n种天赋的所有可能方案数，并通过一个具体的算法实现给出了答案。该算法涉及到矩阵运算及行列式计算。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

4894: 天赋

Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 128 MB
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Description

小明有许多潜在的天赋，他希望学习这些天赋来变得更强。正如许多游戏中一样，小明也有n种潜在的天赋，但有一些天赋必须是要有前置天赋才能够学习得到的。也就是说，有一些天赋必须是要在学习了另一个天赋的条件下才能学习的。比如，要想学会"开炮"，必须先学会"开枪"。一项天赋可能有多个前置天赋，但只需习得其中一个就可以学习这一项天赋。上帝不想为难小明，于是小明天生就已经习得了1号天赋-----"打架"。于是明明想知道学习完这n种天赋的方案数，答案对1,000,000,007取模。

Input

第一行一个整数n。

接下来是一个n*n的01矩阵，第i行第j列为1表示习得天赋j的一个前置天赋为i。

数据保证第一列和主对角线全为0。

n<=300

Output

第一行一个整数，问题所求的方案数。

Sample Input

01111111

00101001

01010111

01001111

01110101

01110011

01111100

01110110

Sample Output

72373

定理题，证明过程比较难，记下结论吧

有向树：对于一个有向图，如果无视边的方向是一棵树，那么此有向图就称为有向树

外向树：有向树的特殊情况，下同，所有边的方向都是从根指向叶子

内向树：所有边的方向都是从叶子指向根

对于n个点的有向图，求出外向生成树个数：（其实就是这道题）

①先定义一个n*n的矩阵，jz[i][i]初始化为i点的入度其它为0

②如果存在一条i到j的边，那么Jz[i][j]-1，最后删掉根的那一行和那一列

③求出对应(n-1)*(n-1)的行列式的值就是答案

对于有向图求内向生成树的个数只要将入度换成出度计算方式一样

#include<stdio.h>
#include<math.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define LL long long
#define mod 1000000007
char str[305];
LL Jz[305][305];
int main(void)
{
	LL ans, A, B, P, temp;
	int n, i, j, k;
	scanf("%d", &n);
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%s", str+1);
		for(j=1;j<=n;j++)
		{
			if(str[j]=='1')
				Jz[i][j]--, Jz[j][j]++;
		}
	}
	n -= 1;
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		for(j=1;j<=n;j++)
			Jz[i][j] = (Jz[i+1][j+1]+mod)%mod;
	}
	ans = 1;
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		for(j=i;j<=n;j++)
		{
			if(Jz[j][i])
				break;
		}
		if(j!=i)
		{
			ans = mod-ans;
			for(k=i;k<=n;k++)
				swap(Jz[i][k], Jz[j][k]);
		}
		for(j=i+1;j<=n;j++)
		{
			A = Jz[i][i], B = Jz[j][i];
			while(B)
			{
				P = A/B, temp = A, A = B, B = temp%B;
				ans = mod-ans;
				for(k=i;k<=n;k++)
				{
					Jz[i][k] = (Jz[i][k]-P*Jz[j][k]%mod+mod)%mod;
					swap(Jz[i][k], Jz[j][k]);
				}
			}
		}
		ans = ans*Jz[i][i]%mod;
	}
	printf("%lld\n", ans);
	return 0;
}