生成树计数与Matrix-Tree定理

生成树计数问题：

对于一个有n个点的无向图，由图中n-1条边构成一个边集，这n-1条边恰好连接图中全部的点并构成一棵树，称为生成树，求这样的边集的个数。

从上面的描述中，我们知道两个不同的生成树之间是允许有重复的边的，比如：

他就有三个生成树：

Matrix-Tree定理：

预备概念：

• 度矩阵 ：一个n个顶点的无向图G，定义它的度数矩阵D，D是一个n*n的矩阵。对于顶点u，设度数为deg[u]，如果i=j，那么D[i][j]=deg[i],否则D[i][j]=0
• 邻接矩阵：一个n个顶点的无向图G，定义它的邻接矩阵A，A是一个n*n的矩阵。如果i和j之间有边，那么A[i][j]=1,否则等于0
• 关联矩阵：一个n个顶点m条边的无向图G，定义它的关联矩阵B，B是一个n*m的矩阵。对于第i条边e[i]=(u,v)，那么B[u][i]和B[v][i]中一个是1，一个是-1，第i列其他值为0，那么我们有：
  
  所以对于