通过Matlab实现Hermite基函数进行信号拟合，可应用于信号降噪

利用Hermite基函数的Hermite近似，在不牺牲精度的情况下，实现对时序信号的降噪，文中图片以心电信号QRS波群滤除高频干扰为例。

1.知识背景

        Hermite正交多项式是一类重要的正交多项式，它们起源于数学中的Hermite函数和特殊函数理论，它们在物理学、工程学和数学中都有广泛的应用。

        Hermite正交多项式满足一组特殊的正交性质，即在一定的权函数下，它们彼此正交。在通常的情况下，这个权函数是e^(-x^2)，即高斯权函数。这种正交性质使得Hermite多项式在傅立叶变换、量子力学、概率论等领域有着重要的应用。

        Hermite正交多项式的一大特点是其递归关系。设Hn(x)表示Hermite多项式的第n阶多项式，则有如下递归关系：

        Hermite正交多项式是通过递归关系定义的，下面是前六个Hermite正交多项式的表达式：

        Hermite基函数是以Hermite多项式为基础构建的一组函数集合，通常用于函数逼近和信号处理等领域，Hermite基函数的形式如下：

其中，​表示第n个Hermite基函数，是对应的第n个Hermite多项式。Hermite基函数的特点是它们在实数轴上有限且彼此正交，因此在信号处理领域常用于构建正交基函数系列，用于信号分解滤波和重建等任务。

        σ为30时，Hermite基函数图像如下所示（本文取前六个基函数对信号进行降噪）：

2.最终拟合

        通过Hermite基函数对信号进行拟合实现降噪，拟合公式如下：

 

其中，表示拟合后的信号，表示Hermite基函数的系数权重，不同的σ对应不同的权重，对于给定的σ，系数计算公式如下：

        最佳权重的选择根据均方误差(Mean Squared Error,MSE)的最小值进行选取，MSE公式如下：

其中表示拟合前的信号。

拟合效果如下图所示：

3.应用

该方法可应用于心电信号QRS波群滤除高频干扰，同理可应用于其他时序信号的滤波。

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