Jzoj3467 最长上升子序列

维护一个序列,使它可以进行下面两种操作:
1.在末尾添加一个数字x
2.将整个序列变成第x次操作后的样子
在每次操作后,输出当前序列的最长上升子序列的长度
序列初始时为空

嗯,可持久化线段树的裸题

额这可是noip提高组难度的题,我们发现所有操作可以变成一棵树(离线做法老套路了)

让后每次最多修改数组上的一个值(考虑二分求LIS的过程)最后改回去就好了

注意dfs又卡栈(jzoj极不良心啊)

#pragma GCC opitmize("O3")
#pragma G++ opitmize("O3")
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<stdlib.h>
#include<algorithm>
#define N 500010
#define INF 0x7fffffff
using namespace std;
extern int main2(void) __asm__ ("main2");
struct edge{ int v,c,nt; } G[N];
int h[N],f[N],n,cnt=0,A[N];
inline void adj(int x,int y,int c){
	G[++cnt]=(edge){y,c,h[x]}; h[x]=cnt;
}
void dfs(int x){
	A[x]=lower_bound(f,f+n,INF)-f;
	for(int p,v,i=h[x];i;i=G[i].nt){
		p=lower_bound(f,f+n,G[i].c)-f;
		v=f[p]; f[p]=G[i].c; dfs(G[i].v); f[p]=v;
	}
}
int main2(){
	freopen("lis.in","r",stdin);
	freopen("lis.out","w",stdout); 
	scanf("%d",&n); *f=INF;
	for(int o,x,i=1;i<=n;++i){
		scanf("%d%d",&o,&x); f[i]=INF;
		if(o) adj(x,i,INF); else adj(i-1,i,x);
	}
	dfs(0);
	for(int i=1;i<=n;++i) printf("%d\n",A[i]); exit(0);
}
int main(){  
    	int size=32<<20; char *p=(char*)malloc(size)+size;    
   	 __asm__ __volatile__("movq  %0, %%rsp\n"  "pushq $exit\n"   "jmp main2\n"  :: "r"(p));   
}

### 解题思路 题目要求解决的是一个与图相关的最小覆盖问题,通常在特定条件下可以通过状态压缩动态规划(State Compression Dynamic Programming, SCDP)来高效求解。由于状态压缩的适用条件是状态维度较小(例如K≤10),因此可以利用二进制表示状态集合,从而优化计算过程。 #### 1. 状态表示 - 使用一个整数 `mask` 表示当前选择的点集,其中第 `i` 位为 `1` 表示第 `i` 个节点被选中。 - 定义 `dp[mask]` 表示在选中 `mask` 所代表的点集后,能够覆盖的节点集合。 - 可以通过预处理每个点的邻域信息(包括自身和所有直接连接的点),快速更新状态。 #### 2. 预处理邻域 对于每个节点 `u`,预先计算其邻域范围 `neighbor[u]`,即从该节点出发一步能到达的所有节点集合。这样,在后续的状态转移过程中,可以直接使用这些信息进行合并操作。 #### 3. 状态转移 - 初始化:对每个单独节点 `u`,设置初始状态 `dp[1 << u] = neighbor[u]`。 - 转移规则:对于任意两个状态 `mask1` 和 `mask2`,如果它们没有交集,则可以通过合并这两个状态得到新的状态 `mask = mask1 | mask2`,并更新对应的覆盖范围为 `dp[mask1] ∪ dp[mask2]`。 - 在所有状态生成之后,检查是否某个状态的覆盖范围等于全集(即覆盖了所有节点)。如果是,则记录此时使用的最少节点数量。 #### 4. 最优解提取 遍历所有可能的状态,找出能够覆盖整个图的最小节点数目。 --- ### 时间复杂度分析 - 状态总数为 $ O(2^K) $,其中 `K` 是关键点的数量。 - 每次状态转移需要枚举所有可能的子集组合,复杂度为 $ O(2^K \cdot K^2) $。 - 整体时间复杂度控制在可接受范围内,适用于 `K ≤ 10~20` 的情况。 --- ### 代码实现(状态压缩 DP) ```cpp #include <bits/stdc++.h> using namespace std; const int MAXN = 25; int neighbor[MAXN]; // 每个节点的邻域 int dp[1 << 20]; // dp[mask] 表示选中的点集合为 mask 时所能覆盖的点集合 int min_nodes; // 最小覆盖点数 void solve(int n, vector<vector<int>>& graph) { // 预处理每个节点的邻域 for (int i = 0; i < n; ++i) { neighbor[i] = (1 << i); // 包括自己 for (int j : graph[i]) { neighbor[i] |= (1 << j); } } // 初始化 dp 数组 memset(dp, 0x3f, sizeof(dp)); for (int i = 0; i < n; ++i) { dp[1 << i] = neighbor[i]; } // 状态转移 for (int mask = 1; mask < (1 << n); ++mask) { if (__builtin_popcount(mask) >= min_nodes) continue; // 剪枝 for (int sub = mask & (mask - 1); sub; sub = (sub - 1) & mask) { int comp = mask ^ sub; if (comp == 0) continue; int new_mask = mask; int covered = dp[sub] | dp[comp]; if (covered == (1 << n) - 1) { min_nodes = min(min_nodes, __builtin_popcount(new_mask)); } dp[new_mask] = min(dp[new_mask], covered); } } } int main() { int n, m; cin >> n >> m; vector<vector<int>> graph(n); for (int i = 0; i < m; ++i) { int u, v; cin >> u >> v; graph[u].push_back(v); graph[v].push_back(u); // 无向图 } min_nodes = n; solve(n, graph); cout << "Minimum nodes required: " << min_nodes << endl; return 0; } ``` --- ### 优化策略 - **剪枝**:当当前状态所用节点数已经超过已知最优解时,跳过后续计算。 - **提前终止**:一旦发现某个状态覆盖了全部节点,并且节点数达到理论下限,即可提前结束程序。 - **空间优化**:可以仅保存当前轮次的状态,减少内存占用。 --- ### 总结 本题通过状态压缩动态规划的方法,将原本指数级复杂度的问题压缩到可接受范围内。结合位运算技巧和预处理机制,能够高效地完成状态转移和覆盖判断操作。 ---
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