逆元浅析

单独的考逆元，现在已经不多了
但是掌握很有必要

逆元是什么

当题目中最终答案太大时，往往会要求我们模一个数。这样的题往往是$dp$、递推之类。所以我们要步步取模。但如果某一步中出现了除法，或者一道概率$dp$ 要求答案取模，这时就要涉及到模意义下的除法。
例如：a/b%m.这时我们将式子变形得到 $a \times \frac{1}{b} \mod m$这样就得到了一个乘法。
设c是逆元，得$b^{-1} \equiv c (mod m)$
得$b\times c\equiv 1(mod m)$

怎么求单个的逆元

显然可以用$exgcd$解这个方程。
$b\times c+ m\times k=1$
求得最小的一个$c$即可。
还有，注意到了这个方程是不一定有解的，意思就是说不一定有逆元。但注意到$m$为质数一定有解。这为接下来的线性求逆元提了个醒：只有质数才能线性求逆元。
另外一种做法，是使用欧拉定理。
有欧拉定理有：

$$a^{\phi(p)} \equiv 1$$
所以逆元可求为$b^{\phi(m)-1}$
注意到这个不能判断是否有逆元，使用时要注意。然后具体操作时，只需打一个快速幂就可以了。（一般模的是质数，所以$\phi(p)=p-1$）;

怎么线性求逆元

逆元有一种线性求法，就是在$O(n)$内求1～n的逆元。
具体推理与操作过程如下;

$$p=k\times i+r$$
$$p\equiv 0(\mod p)$$
$$k\times i+r\equiv 0(\mod p)$$
为了强行构造逆元，我们同乘$i^{-1}\times r^{-1}$
$$k\times r^{-1}+i^{-1} \equiv 0(\mod p)$$
$$i^{-1}\equiv -k\times r^{-1} (\mod p)$$
$$i^{-1}\equiv -[\frac pi]×(p \mod i)^{-1} (\mod p)$$
实际操作中仍有以下两点需要注意

1. 注意到右边是一个负数,实际中要加p再去模。
2. 注意到这里只能求比p小的逆元，实际上比p大的模一个p就可以了。

代码

会后续补充…….