关于时间复杂度和空间复杂度的计算

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时间复杂度： 
一般情况下，算法中基本操作重复的次数就是问题规模n的某个函数f（n），进而分析f（n）随n的变化情况并确定T（n）的数量级。这里用‘o’来表示数量级，给出算法时间复杂度。 
T（n）=o（f（n））； 
它表示随问题规模n的增大，算法的执行时间增长率和f（n）增长率成正比，这称作算法的渐进时间复杂度。而我们一般情况下讨论的最坏的时间复杂度。 
空间复杂度： 
算法的空间复杂度并不是实际占用的空间，而是计算整个算法空间辅助空间单元的个数，与问题的规模没有关系。算法的空间复杂度S（n）定义为该算法所耗费空间的数量级。 
S（n）=o（f（n）） 
若算法执行所需要的辅助空间相对于输入数据n而言是一个常数，则称这个算法空间复杂度辅助空间为o（1）； 
递归算法空间复杂度：递归深度n*每次递归所要的辅助空间，如果每次递归所需要的辅助空间为常数，则递归空间复杂度o（n）。

int binary_search(int *a,int size,int value)  //[left,right);
{
    int left = 0;
    int right = size;
    while (left < right)
    {
        int mid = left + ((right - left) >> 1);
        if (value > a[mid])
            left = mid + 1;
        else if (value < a[mid])
            right = mid ;
        else
            return mid;
    }
    return -1;
}
int binary_search1(int *a, int size, int value)//[left,right]
{
    int left = 0;
    int right = size - 1;
    while (left <= right)
    {
        int mid = left + ((right - left) >> 1);
        if (value > a[mid])
            left = mid + 1;
        else if (value < a[mid])
            right = mid - 1;
        else
            return mid;
    }
    return -1;
}

折半查找时间复杂度：

假设在n个数中查找，查找第一次个数变为n/2，查找第二次 个数变为 （n/2）/2 依次类推计算第n次时查找的数列长度为（n/(2^x)）。设x为查找的次数，最坏情况下查找x次找到 （n/(2^x)）=1 
所以查找在n个数查找查找的次数为：x=log n 时间复杂度为：O（log n）(以2为底n的对数) 
空间复杂度：O（1）

//递归实现二分查找
int binary_search2(int *a, int left,int right, int value)
{
    if (left <= right)
    {
        int mid = left + ((right - left) >> 1);
        if (value == a[mid])
        {
            return mid;
        }
        else if (value > a[mid])
        {
            left = mid + 1;
            return  binary_search2(a, left, right, value);
        }
        else
        {
            right = mid - 1;
            return binary_search2(a, left, right, value);
        }
    }
    else
    return -1;
}

int fibonacci(int a)
{
    if (a < 2)
        return a;
    else
        return fibonacci(a - 1) + fibonacci(a - 2); 
}

斐波那契的（递归）时间复杂度分析：

如图为递归的次数。2^5-16，以此类推，计算第n个斐波那契数是时间复杂度为O（2^n）-O(1) 
即时间复杂度为 O（2^n） 
空间复杂度：递归深度*每次递归所需要的辅助空间所以空间复杂度有为o（n）；

//斐波那契数的非递归算法：
int fibonacci1(int a)
{
    int x=0, y=1, z;
    if (a < 2)            
        return a;
    else
    {
        int i = 0;
        for (i = 2; i <= a; i++)    
        {                    
            z = x + y; 
            x = y;
            y = z;
        }
    }
    return z;
}

时间复杂度O（n） 
空间复杂度O（n）