代码随想录算法训练营第38天| 509. 斐波那契数、70. 爬楼梯、746. 使用最小花费爬楼梯

509. 斐波那契数

题目链接：斐波那契数

题目描述：斐波那契数 （通常用 F(n) 表示）形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是：

F(0) = 0，F(1) = 1
F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1

给定 n ，请计算 F(n) 。

动态规划：

1. 确定dp数组以及下标的含义
   dp[i]的定义为：第i个数的斐波那契数值是dp[i]
2. 确定递推公式
   状态转移方程 dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
3. dp数组如何初始化
   **题目中把如何初始化也直接给我们了，如下：**dp[0] = 0; dp[1] = 1;
4. 确定遍历顺序
   从递归公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];中可以看出，dp[i]是依赖 dp[i - 1] 和 dp[i - 2]，那么遍历的顺序一定是从前到后遍历的
5. 举例推导dp数组

class Solution {
public:
    int fib(int n) {
        if (n <= 1) return n;
        vector<int> dp(n+1);
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 1;
        for (int i = 2; i <=n; i++) {
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
        }
        return dp[n];
    }
};

• 时间复杂度：O(n)
• 空间复杂度：O(n)

因为dp[i]只依赖于dp[i-1]和dp[i-2]，所以可以只维护一个空间大小为2的数组。

class Solution {
public:
    int fib(int n) {
        if (n <= 1) return n;
        int dp[2];
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 1;
        for (int i = 2; i <=n; i++) {
            int sum = dp[0]+dp[1];
            dp[0] = dp[1];
            dp[1] = sum;
        }
        return dp[1];
    }
};

• 时间复杂度：O(n)
• 空间复杂度：O(1)

70. 爬楼梯

题目链接：爬楼梯

题目描述：假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

解题思想：

本题大家如果没有接触过的话，会感觉比较难，多举几个例子，就可以发现其规律。

爬到第一层楼梯有一种方法，爬到二层楼梯有两种方法。

那么第一层楼梯再跨两步就到第三层 ，第二层楼梯再跨一步就到第三层。

动规五部曲：

1. 确定dp数组以及下标的含义
   dp[i]： 爬到第i层楼梯，有dp[i]种方法
2. 确定递推公式
   dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
3. dp数组如何初始化
   不考虑dp[0]如何初始化，只初始化dp[1] = 1，dp[2] = 2，然后从i = 3开始递推，这样才符合dp[i]的定义。
4. 确定遍历顺序
   从递推公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];中可以看出，遍历顺序一定是从前向后遍历的
5. 举例推导dp数组
   举例当n为5的时候，dp table（dp数组）应该是这样的

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        if (n <= 1) return n; // 因为下面直接对dp[2]操作了，防止空指针
        vector<int> dp(n + 1);
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;
        for (int i = 3; i <= n; i++) { // 注意i是从3开始的
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
        }
        return dp[n];
    }
};

• 时间复杂度: O(n)
• 空间复杂度: O(n)

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        if (n <= 1) return n;
        int dp[3];
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;
        for (int i = 3; i <= n; i++) {
            int sum = dp[1] + dp[2];
            dp[1] = dp[2];
            dp[2] = sum;
        }
        return dp[2];
    }
};

• 时间复杂度: O(n)
• 空间复杂度: O(1)

746. 使用最小花费爬楼梯

题目链接：使用最小花费爬楼梯

题目描述：给你一个整数数组 cost ，其中 cost[i] 是从楼梯第 i 个台阶向上爬需要支付的费用。一旦你支付此费用，即可选择向上爬一个或者两个台阶。

你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。

请你计算并返回达到楼梯顶部的最低花费。

解题思想：

动规5步曲：

1. 确定dp数组的含义，dp[i]代表到达第i个台阶的最小花费。
2. 确定递推公式，dp[i]只与dp[i-1]和dp[i-2]有关，dp[i] = min(dp[i-1+cost[i-1],dp[i-2+cost[i-2])
3. 确定初始化条件，开始时下标0和1不花费cost，dp[0]=dp[1]=0
4. 确定遍历顺序，正向遍历
5. 举例推导dp数组

class Solution {
public:
    int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) {
        vector<int> dp(cost.size() + 1);
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 0;
        for (int i = 2; i <= cost.size(); i++) {
            dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);
        }
        return dp[cost.size()];
    }
};

• 时间复杂度: O(n)
• 空间复杂度: O(n)

可以进一步优化空间复杂度

class Solution {
public:
    int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) {
        int dp[2];
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 0;
        for (int i = 2; i <= cost.size(); i++) {
            int minmum = min(dp[1] + cost[i - 1], dp[0] + cost[i - 2]);
            dp[0] = dp[1];
            dp[1] = minmum;
        }
        return dp[1];
    }
};

• 时间复杂度: O(n)
• 空间复杂度: O(1)