四元数系列之一：基本认知

整理一下学习到的四元数相关知识，暂时分为以下几个方面进行整理吧

1.四元数为什么能表示旋转

2.四元数的运算（格里斯曼积，点乘，叉乘，关于四元数的逆的疑问）

3.四元数用作旋转时，为什么被旋转向量（p）为纯四元数，为什么旋转四元数（q）的模限定为1，以及完成旋转需要左乘q右乘q的共轭

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1.四元数为什么能表示旋转

先来看看复数：

引入复数的时候，规定i² = -1：在Re轴上取单位向量 $\vec{a}$ ,则$\vec{a}$·i² = -$\vec{a}$，也就是说，对$\vec{a}$进行两次 i 运算后，$\vec{a}$变成了-$\vec{a}$，i 的意义即为逆时针旋转90°。
这是二维平面中，复数的乘法可以表示旋转：
原向量$z=x+iy$ ,对其逆时针旋转$\theta$角度，即乘以另一个向量$r=cos\theta +i\cdot sin\theta$
以上：对点或者向量进行旋转需要引入一个虚数单位
那么很自然的我们会想到，在三维空间中进行旋转，需要引入两个虚数单位：
$$l=x+yi+zj\text{\hspace{1em}(1)}$$

不妨设定一个待旋转的向量$m$