这篇博客详细介绍了傅里叶变换在处理乘积信号时的应用，通过数学推导展示了卷积定理如何将乘积的傅里叶变换转化为分别对两个函数进行傅里叶变换后再卷积的过程。内容涉及复数、积分变换和信号处理的基础知识。
∫ R f ∗ g exp ( − 2 π i z v ) d z = ∫ R ∫ R f ( x ) g ( z − x ) d x exp ( − 2 π i z v ) d z = ∫ R ∫ R f ( x ) g ( z − x ) exp ( − 2 π i z v ) d z d x = ∫ R ∫ R g ( z − x ) exp ( − 2 π i z v ) d z f ( x ) d x = 令 z − x = t ∫ R ∫ R g ( t ) exp ( − 2 π i ( t + x ) v ) d t f ( x ) d x = ∫ R ∫ R g ( t ) exp ( − 2 π i t v ) d t f ( x ) exp ( − 2 π i x v ) d x = ∫ R g ( t ) exp ( − 2 π i t v ) d t ∫ R f ( x ) exp ( − 2 π i x v ) d x \begin{aligned} \int_R f*g\exp(-2\pi izv){\rm d}z&=\int_R\int_Rf(x)g(z-x){\rm d}x\exp(-2\pi izv){\rm dz}\\ &=\int_R\int_Rf(x)g(z-x)\exp(-2\pi izv){\rm dz}{\rm d}x\\ &=\int_R\int_Rg(z-x)\exp(-2\pi izv){\rm dz}f(x){\rm d}x\\ &\xlongequal{\text{令}z-x=t}{}\int_R\int_Rg(t)\exp(-2\pi i(t+x)v){\rm d}tf(x){\rm d}x\\ &=\int_R\int_Rg(t)\exp(-2\pi itv){\rm d}tf(x)\exp(-2\pi ixv){\rm d}x\\ &=\int_Rg(t)\exp(-2\pi itv){\rm d}t\int_Rf(x)\exp(-2\pi ixv){\rm d}x \end{aligned} ∫Rf∗gexp(−2πizv)dz=∫R∫Rf(x)g(z−x)dxexp(−2πizv)dz=∫R∫Rf(x)g(z−x)exp(−2πizv)dzdx=∫R∫Rg(z−x)exp(−2πizv)dzf(x)dx令z−x=t∫R∫Rg(t)exp(−2πi(t+x)v)dtf(x)dx=∫R∫Rg(t)exp(−2πitv)dtf(x)exp(−2πixv)dx=∫Rg(t)exp(−2πitv)dt∫Rf(x)exp(−2πixv)dx
参考资料
卷积定理
乘积的傅里叶变换等于分别做傅里叶变换的卷积乘1/2pi
2022年5月6日17:03:02
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