康托尔三分集是不可列集的证明

后面需要用到的知识：

闭集的定义：如果集合 $S$ 中包含了它的所有聚点，则称 $S$ 为闭集。

康托尔三分集的定义：

将基本区间 $[0,1]$ 用分点 $1/3$ 与 $2/3$ 三等分，并除去中间的开区间 $(1/3,2/3)$. 再把余下两个闭区间各三等份，并除去中间的开区间 $(1/9,2/9)$, $(7/9,8/9)$。然后将余下的四个闭区间同法处理，如此等等，这样便得到康托尔三分集 $P_0$

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证明康托尔三分集是不可列集：

假设 $P_0$ 是可列的，将 $P_0$ 中点编号成点列

$$x_1,x_2,\cdots ,x_k,\cdots ,$$

也就是说，$P_0$ 中任一点必在上述点列中出现。显然，$[0,1/3]$ 与 $[2/3,1]$ 中应有一个不含有 $x_1$，用 $I_1$ 表示中国闭区间。将 $I_1$ 三等分后所得的左右两个闭区间中，应有一个不含 $x_2$，用 $I_2$ 表示他。然后用 $I_3$ 表示三等分 $I_2$ 时不含 $x_3$ 的左或右那个闭区间，如此等等…这样，根据归纳法，得到一个闭区间列 {Ik}k∈N\{I_k\}_{k\in N}{Ik​}k∈N​.由所述取法知，

$$I_1\supset I_2\supset \cdots I_k\supset \cdots$$

$$x_k\notin I_k,k\in N$$

同时，易见 $I_k$ 的长为 $1/3^k\to 0(k\to \infty )$.由闭区间套定理，存在点 $\xi \in I_k,k\in N$.又因为 $\xi$ 是 $I_k$ 等端点的聚点，从而是闭集 $P_0$ 的聚点，故 $\xi \in P_0$。又因为 $x_k\notin I_k.k\in N$，所以 $\xi \ne x_k,k\in N$。矛盾，所以 $P_0$ 不可列。

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2021年9月23日16:18:15