剑指10 - 斐波那契数列

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关于求余
(x+y)⊙p=(x⊙p+y⊙p)⊙p(x+y)\odot p = (x\odot p+y\odot p)\odot p(x+y)p=(xp+yp)p防止x+y时溢出,⊙\odot是求余操作

第一种写法 : 直接递归

int fib(int n) {
        if(n==0) return 0;
        else if(n==1) return 1;
        else return (fib(n-1)%1000000007+fib(n-2)%1000000007)%1000000007;
    }

缺点:重复计算,时间复杂度:O(2n)O(2^n)O(2n)
在这里插入图片描述

第二种写法:动态规划/记忆搜索

时间复杂度:O(n)O(n)O(n), 空间复杂度:O(n)O(n)O(n)

int fib(int n) {
        vector<int> vi;
        for(int i=0; i<n+1; i++){
            if(i==0) vi.push_back(0);
            else if(i==1) vi.push_back(1);
            else vi.push_back((vi[i-1]%1000000007+vi[i-2]%1000000007)%1000000007); //防止溢出
        }
        return vi[n];
    } 

时间复杂度:O(n)O(n)O(n), 空间复杂度:O(1)O(1)O(1)

int fib(int n) {
        if(n==0) return 0;
        else if(n==1) return 1;
        else{
            int p = 0;
            int q = 1;
            int temp;
            for(int i=2;i<n+1;i++){
                temp = q;
                q = (p%1000000007 + q%1000000007)%1000000007;
                p = temp;
            }
            return q;
        }
    }

第三种写法:乘方法

应用:青蛙跳台阶

考虑:设dp[n]表示跳上第n阶台阶有几种跳法,则满足动态转移方程:
dp[n]=dp[n−1]+dp[n−2]dp[n]=dp[n-1]+dp[n-2]dp[n]=dp[n1]+dp[n2]即,第n阶的跳法等于第n-1阶(再跳1阶)的跳法加上n-2阶(再跳两阶)的跳法

int numWays(int n) {
        if(n==0) return 1;
        else if(n==1) return 1;
        else{
            int p=1;
            int q=1;
            int temp;
            for(int i=2;i<n+1;i++){
                temp = q;
                q = (p%1000000007 + q%1000000007)%1000000007;
                p = temp;
            }
            return q;
        }
    }

跳台阶还可以继续延伸:一次可以跳1阶,2阶,3阶…

然后有的台阶还有破损,不能跳到上面只能跳过去…(老街)

应用2:小矩形覆盖大矩形

用21的小矩形无重叠的覆盖2n的大矩形,覆盖规律满足:
f(n)=f(n-1)+f(n-2)

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