概率导论--一--样本空间与概率

1.2 概率模型

概率模型

1. 试验：概率模型都关联着一个试验，试验必产生一个结果
2. 样本空间$\Omega$: 试验的所有可能
3. 事件A ：样本空间的子集
4. 概率：确定了任何结果或结果的集合（事件）的似然程度(likelood)

表示：常用序贯树形图等序贯模型表示样本空间的试验结果

概率公理

1. 非负性：$\forall A,P(A)\ge 0$
2. 可加性：$\forall A,B,A\cap B=\varnothing ,P(A\cup B)=P(A)+P(B)$
3. 归一化：$P(\Omega )=1$

概率律的性质（由公理可推导)
a. $A\subset B,则P(A)\le P(B)$
b. $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
c. $P(A\cup B)\le P(A)+P(B)$
d. $P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(A^c\cap B)+P(A^c\cap B^c\cap C)$

离散模型

离散概率律：样本空间由有限个可能的结果组成
P({S1,S2,...,Sn})=P(S1)+P(S2)+...+P(Sn)P(\{S_1, S_2,...,S_n\})=P(S_1)+P(S_2)+...+P(S_n)P({S1​,S2​,...,Sn​})=P(S1​)+P(S2​)+...+P(Sn​)
离散均匀概率律：样本空间由n个等可能性的试验结果组成
$$P(A)=\frac{事件A中的试验结果数}{n}$$

例1.3：
试验：连续两次抛掷一个骰子
样本空间：两次点数所有可能的集合
事件A：两次点数之和为偶数
事件B：两次点数相等
事件C：至少有一次得6

连续模型

试验的样本空间为连续集合

1. 幸运轮 $\Omega =[0,1]$,指针指向0到1之间的一个刻度
   概率模型$P([a,b])=b-a,[a,b]\subseteq \Omega$

2. 见面（几何模型）
   A, B约定某时刻见面，两人均可能延迟0～1小时，先到者会等待15分钟
   样本空间$\Omega =[0,1]\times [0,1]$可表示为一个正方形
   概率P(S)为S的面积$(S\subseteq \Omega )$

1.3 条件概率

条件概率-定义：$$P(A|B)=\frac{P(A\cup B)}{P(B)}$$
含义：给定试验、样本空间，已知B发生，事件A发生的概率

条件概率也是概率律，满足概率的三公理与性质

对条件概率的理解：
P(A|B) ,其中B固定，A为$\Omega$中任一事件

1. 该条件概率为样本空间$\Omega$上的新概率律
2. 也可看作B上的概率律，B为全空间

乘法法则

例1.9 雷达探测器


例1.10
从52张牌中连续无放回的抽取3张牌，求3张牌中无红桃的概率

1.4 全概率定理和贝叶斯准则

全概率定理

$A_1,A_2,...,A_n$是样本空间的一个分割，且$P(A_i)>0$,对任意事件B：
$$P(B)=P(A_1\cap B)+...+P(A_n\cap B)=P(A_1)P(B|A_1)+...+P(A_n)P(B|A_n)$$

例1.13
P(胜) = P(一类对手)P(胜|一类)+P(二类)P(胜|二类)+P(三类)P(胜|三类)

例1.15 爱丽丝上课
$U_i,B_i$表示经过i周跟上或跟不上

贝叶斯准则

$$P(A_i|B)\cdot P(B)=P(B|A_i)\cdot P(A_i)$$
其中$P(B|A_i)$后验概率， $P(A_i)$先验概率

例1.18 假阳性之迷
已知某疾病检出率为95%， 则求检测结果为阳性时，该人患病的概率