【漫话机器学习系列】206.稀疏性（Sparsity）-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/IT_ORACLE/article/details/147247310

理解稀疏性（Sparsity）：什么是矩阵的稀疏性？

在数据科学、机器学习、线性代数等多个领域中，矩阵是一个常见而基础的数学工具。而在处理大型矩阵时，我们经常会遇到“稀疏矩阵”（Sparse Matrix）。稀疏性（Sparsity）正是描述一个矩阵中“有多少是零元素”的一个重要概念。理解和利用稀疏性，有助于我们提升数据存储效率、加速运算过程。

什么是稀疏性？

稀疏性（Sparsity）是指一个矩阵中零元素所占的比例。在很多实际应用中，比如自然语言处理中的词向量矩阵、图像识别中的特征矩阵、推荐系统中的用户-物品评分矩阵等，矩阵中大多数元素都是0，这就是稀疏矩阵的典型特征。

我们可以通过一个简单的公式来定义稀疏性：

也就是说，一个矩阵越“稀疏”，其稀疏性值就越高。相反，如果一个矩阵中非零元素很多，那么它就是一个“密集矩阵”（Dense Matrix），稀疏性就会很低。

举个例子说明

假设有如下一个 3 × 3 的矩阵：

$\begin{bmatrix} 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 7 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

我们来看一下它的稀疏性：

零元素的个数：7
矩阵总元素数：9（3行 × 3列）

因此，稀疏性为：

$\frac{7}{9} \approx 0.778$

这意味着这个矩阵中约有 77.8% 的元素是 0，我们可以称它为“稀疏矩阵”。

稀疏矩阵的优势

那么为什么稀疏性这么重要？它带来了以下几个实际意义：

1. 节省存储空间

传统的二维数组需要存储所有元素（包括0），而稀疏矩阵可以采用稀疏存储格式（如 CSR、COO、CSC 等）仅记录非零元素，从而节省大量空间。

2. 提升计算效率

在进行矩阵运算（如乘法、求逆等）时，跳过0的计算可以显著减少时间复杂度。

3. 更快的建模与训练速度

在机器学习和深度学习中，模型输入往往是高维稀疏数据（如文本TF-IDF向量），对其优化能极大提升训练速度。

应用场景

自然语言处理（NLP）：如词袋模型（Bag-of-Words）构造出的特征矩阵通常非常稀疏。
推荐系统：用户评分矩阵中，大部分用户未对大部分物品评分。
计算机视觉：稀疏编码（Sparse Coding）用于图像压缩和特征提取。
图神经网络（GNN）：图的邻接矩阵在大多数情况下是稀疏的。

稀疏性与稠密性的对比

特征	稀疏矩阵（Sparse）	稠密矩阵（Dense）
零元素比例	高	低
存储方式	稀疏格式	全元素存储
运算速度	快（适当优化）	慢
内存占用	小	大
应用场景	文本、图、推荐系统等	图像、音频、模拟等