【漫话机器学习系列】082.岭回归(或脊回归)中的α值(alpha in ridge regression)

岭回归(Ridge Regression)中的 α 值

岭回归(Ridge Regression)是一种 带有 L2​ 正则化 的线性回归方法,用于处理多重共线性(Multicollinearity)问题,提高模型的泛化能力。其中,α 值(正则化强度) 是岭回归的关键超参数,它决定了正则化项的权重。


1. 岭回归的损失函数

岭回归的目标是在最小化均方误差(MSE)的基础上,引入 L2​ 正则化,以防止过拟合。其损失函数(目标函数)如下:

其中:

  • 是普通最小二乘回归(OLS)的损失项(残差平方和,RSS)
### 岭回归的概念 岭回归是一种线性回归模型,旨在通过引入正则化项来解决多重共线性和过拟合问题。该方法通过对损失函数增加L2范数惩罚项,使得参数估计更加稳定[^1]。 ### 数学表达式 假设有一个数据集 \((X, y)\),其中 \(X\) 是特征矩阵,\(y\) 是目标变量向量。标准的最小二乘法试图找到使残差平方和最小化的系数向量 \(\beta\): \[ RSS = (y - X\beta)^T(y - X\beta) \] 而岭回归的目标是最小化下面这个带罚项的形式: \[ J(\beta) = RSS + \alpha \sum_{i=1}^{p}\beta_i^2 \] 这里 \(\alpha\) 控制着正则化的强度;当 \(\alpha = 0\) 时,退化成普通的最小二乘估计;随着 \(\alpha\) 的增大,会逐渐缩小各系数直至趋近于零。 ```python from sklearn.linear_model import Ridge import numpy as np # 创建样本数据 n_samples, n_features = 100, 5 np.random.seed(0) X = np.random.randn(n_samples, n_features) true_coef = 3 * np.ones(n_features) y = np.dot(X, true_coef) + np.random.randn(n_samples) # 使用sklearn库中的Ridge类构建并训练模型 ridge = Ridge(alpha=.5).fit(X, y) print(f"Coefficients: {ridge.coef_}") ``` ### 应用场景 - **金融领域**:用于预测股票价格走势者信用风险评估; - **医疗健康**:帮助医生分析疾病发生率与各种因素之间的关系; - **市场营销**:研究广告投入对于销售额的影响程度等。 ### 参数调整建议 为了获得更好的性能表现,在实际应用过程中通常需要对超参 \(\alpha\) 进行调优。可以通过交叉验证的方法自动寻找最优解,比如利用 `GridSearchCV` 者 `RandomizedSearchCV` 工具来进行网格搜索随机搜索。
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