算法设计与分析: 3-4 多重幂计数问题

3-4 多重幂计数问题

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问题描述

设给定n个变量x1,x2,…,xn。将这些变量依序作底和各层幂，可得n重幂如下

这里将上述n重幂看作是不确定的，当在其中加入适当的括号后，才能成为一个确定的n重幂。不同的加括号方式导致不同的n重幂。例如，当n=4时，全部4重幂有5个。

对n个变量计算出有多少个不同的n重幂。

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Java: version 1

import java.util.Scanner;

public class DuoChongMiJiShu {

    public static void main(String[] args){
        int n;
        int[] A;
        int i, j;

        Scanner input = new Scanner(System.in);

        while (true){
            n = input.nextInt();
            A = new int[n];

            for(i=1; i<=n-1; i++)
                A[i] = 0;

            A[0] = 1;
            for(i=1; i<=n-1; i++)
                for(j=1; j<=i; j++)
                    A[j] = A[j] + A[j-1];

            System.out.println(A[n-1]);
        }
    }
}

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Java: version 2

import java.util.Scanner;

public class DuoChongMiJiShu1 {

    public static void main(String[] args){
        int n;
        int[] P;

        Scanner input = new Scanner(System.in);

        while (true){
            n = input.nextInt();
            P = new int[n+1];

            P[1] = 1;
            for(int i=2; i<=n; i++)
                for(int k=1; k<i; k++)
                    P[i] += P[k] * P[i-k];

            System.out.println(P[n]);
        }
    }
}

Input & Output

1
1

2
1

3
2

4
5

5
14

6
42

7
132

8
429

9
1430

可见，输出为 Catalan数，该问题当可转化为 Catalan数问题。

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Reference

王晓东《计算机算法设计与分析》（第3版）P89