算法设计与分析: 2-14 整数因子分解问题

2-14 整数因子分解问题

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问题描述

大于1的正整数n可以分解为：$n = x_1*x_2*…*x_m$。例如，当n=12 时，共有8 种不同的分解式：
12=12；
12=6*2；
12=4*3；
12=3*4；
12=3*2*2；
12=2*6；
12=2*3*2；
12=2*2*3。
对于给定的正整数n，计算n共有多少种不同的分解式。

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分析

设h(n)为n的划分数
h(1) = 1
h(2) = 1
$h(n) = h(n/2) + h(n/3) + ... + h(n/n)$ （前提是能被整除）

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递归

Java

import java.util.Scanner;

public class ZhengShuYinZiFenJie {

    private static int total=0;

    public static void main(String[] args) {
        Scanner input = new Scanner(System.in);
        int n;

        while(true){
            //还原初始值
            total = 0;
            n = input.nextInt();

            recursive(n); //递归调用

            System.out.println(total);
            System.out.println("-------------");

        }
    }

    private static void recursive(int n){
        if(n == 1)
            total++;
        else
            for(int i=2; i<=n; i++)
                if(n%i == 0)
                    recursive(n/i);

    }
}

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Input & Output

12
8
-------------
12
8
-------------
3
1
-------------
4
2
-------------
5
1
-------------
1
1
-------------
56
20
-------------
56
20
-------------
66
13
-------------
67
1
-------------

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动态规划

Java: version 1

import java.util.Scanner;

public class ZhengShuYinZiFenJie1 {

    private static int total=0;
    private static int[] h = new int[10000];

    public static void main(String[] args) {
        Scanner input = new Scanner(System.in);
        int n;

        while(true){
            //还原初始值
            total = 0;
            h = new int[10000];
            n = input.nextInt();

            total = dynamic(n);

            System.out.println(total);
            System.out.println("---------------");

        }
    }

    //动态规划
    private static int dynamic(int n){
        h[1] = 1;
        h[2] = 1;
        for(int i=3; i<=n; i++)
            for(int j=2; j<=i; j++)
                if(i%j == 0) //如果j能被i整除
                    h[i] += h[i/j];
        return  h[n];
    }

}

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Input & Output

12
8
---------------
12
8
---------------
3
1
---------------
4
2
---------------
1
1
---------------
56
20
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Java: version 2

import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;

public class ZhengShuYinZiFenJie2 {

    private static int[] divisors; //保存n的因子，k为a数组最后一位因子的下一位所值的地方（下标）
    private static int[] h; //保存结果
    private static int n;
    private static int k; //k为divisors数组最后一位元素的下一位（下标）
    private static int total;

    public static void main(String[] args) {
        Scanner input = new Scanner(System.in);

        while (true){
            k = 0;
            h = new int[1005];
            divisors = new int[1005];

            n = input.nextInt();

            divisor(n);

            Arrays.sort(divisors, 0, k);

            total = dynamic();

            System.out.println(total);
            System.out.println("---------------");
        }
    }

    private static int dynamic(){
        h[0]=1; //初始
        for(int i=1; i<k; i++){
            for(int j=0; j<i; j++){
                if(divisors[i]%divisors[j] == 0){
                    h[i] += h[j];
                }
            }
        }
        return h[k-1];
    }

    private static void divisor(int n){
        int i;
        for(i=1; i<Math.sqrt(n); i++){
            if(n%i == 0){
                divisors[k++] = i;
                divisors[k++] = n/i;
            }
        }
        if(i*i == n) //处理因子相同，且只可能出现在i*i==n(即i=sqrt(n))处
            divisors[k++] = i;
    }
}

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Input & Output

12
8
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12
8
---------------
3
1
---------------
4
2
---------------
66
13
---------------

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Reference

王晓东《计算机算法设计与分析》（第3版）P47