【算法设计与分析】-- 分治法

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1、分治法的基本思想

分治法的基本思想是将一个规模为n的问题分解为k个规模为较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题相同，递归地求解这些子问题，然后利用子问题的解合并出原问题的解。

2、分治算法的设计

分为三个阶段：

• 分解阶段：将整个问题划分为多个子问题。
• 递归求解阶段：求解每个子问题。
• 合并阶段：合并子问题的解，形成原始问题的解。

3、分治算法的分析

分为两个阶段：

• 建立递归方程
• 求解递归方程

4、最大子段和问题

给定由n个整数（可为负数）组成的序列a1,a2.....an，求该序列的子段和的最大值，当所有整数均为负整数时定义最大子段和为0。（子段是连续的）

例：当（a1，a2，a3，a4，a5，a6） = （-2，11，-4，13，-5，-2）时，最大子段和为20（11-4+13）。

下面给出简单的穷举法和分治法求解最大子段和。

穷举法：

int maxsum(int n,int *a,int &besti,int &bestj){//n为长度，a为数组，i为开始位置，j为结束位置
	int sum = 0;
	for(int i = 1;i <= n;i++){
		int thissum = 0;
		for(int j = i;j <= n;j++){
			thissum += a[j-1];
			if(thissum > sum){
				sum = thissum;
				besti = i;
				bestj = j;
			}
		}
	}
		return sum;
}

时间复杂度：

 

分治法：

分治算法设计：

如果将所给的序列a[1：n]分为长度相等的两段a[1：n/2]和a[n/2+1:n]，分别求出这两段的最大子段和。

a[1：n]的最大子段和有三种情形：

• a[1:n]的最大子段和与a[1:n/2]的最大子段和相同。
• a[1:n]的最大子段和与a[n/2+1:n]的最大子段和相同。
• a[1:n]的最大子段和为 (从i开始到j结束的子段和)，其中1<=i<=n/2，n/2<=j<=n。

其中前两种情况可递归求得，第三种情况a[n/2]与a[n/2+1]在最优子序列中，因此可在a[1:n/2]中计算出最大值，在a[n/2+1:n]中计算出最大值，两者相加为最优解。

int maxsubsum(int *a,int left,int right){
	int sum = 0;
	if(left == right)//如果只有一个数的情况
	return sum = a[left] > 0 ? a[left]:0; 
	int center = (left+right)/2;
	int leftsum = maxsubsum(a,left,center);//第一种情况：左半部分最大值 
	int rightsum = maxsubsum(a,center+1,right);//第二种情况：右半部分最大值
	int s1 = 0;
	int lefts = 0;
	for(int i = center;i >= left ;i--){
		lefts += a[i];
		if(lefts > s1)
		s1 = lefts;
	} 
	int s2 = 0;
	int rights = 0;
	for(int i = center+1;i <= right ;i++){
		rights += a[i];
		if(rights > s2)
		s2 = rights;
	} 
	sum = s1+s2;//第三种情况：最大子段和在两者范围连续 
	if(sum < leftsum) sum = leftsum;
	if(sum < rightsum) sum = rightsum;
	return sum;
}

时间复杂度：

5、循环赛日程表问题

设有n = 2^k个运动员要进行网球循环赛，现在要设计一个满足以下要求的比赛日程表：

①每个选手必须与其它n-1个选手各赛一次。

②每个选手一天只能赛一次。

③循环赛一共进行n-1天。

按此要求，可将比赛日程表设计成有n行和n-1列的一个表，求表中第i行和第j列处填入第i个选手在第j天所遇到的选手。

算法设计：

按分治策略，我们可将所有选手对分为两组，n个选手的比赛日程表就可通过为n/2个选手设计的比赛日程表来决定。递归地用这种一分为二的策略对选手进行分割，直到只剩下2个选手时，只要让这两个选手进行比赛就可以了。

例：

八个选手的比赛日程表：

这个8×8的表可以往下划分4×4再往下2×2，如下：

 

 这个表有这么个规律：第一个2×2的矩阵就是12 21，第二个（横向）是第一个矩阵对应的数+n/2（n为当前所处的是n×n矩阵，如上是4×4），第三个第四个矩阵就是对角的矩阵相同。

如果还不懂，再来到8×8的矩阵上来，第二个（横向）矩阵：5 = 1+8/2，6 = 2+8/2......

int matrix[8][8] = {0};//存放日程表数组 
void fun(int n){
	int i,j;
	if(n<=0)return;
	if(n > 2){
		fun(n/2);//向下划分为子问题 
//		第一个双重循环完成第二个矩阵 
		for(i=0;i<n/2;i++)
			for(j=n/2;j<n;j++)
				matrix[i][j]=matrix[i][j-n/2]+n/2;
//		第二个双重循环完成第三个矩阵 
		for(i=n/2;i<n;i++)
			for(j=0;j<n/2;j++)
				matrix[i][j]=matrix[i-n/2][j+n/2];
//		第二个双重循环完成第四个矩阵 
		for(i=n/2;i<n;i++)
			for(j=n/2;j<n;j++)
				matrix[i][j]=matrix[i-n/2][j-n/2];
	}
//		完成第一个2 ×2矩阵 
	else{
		matrix[0][0] = 1;matrix[0][1]=2;
		matrix[1][0] = 2;matrix[1][1]=1;
	}
}

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