算法设计与分析: 2-11 集合划分问题（第2类Stirling数）

2-11 集合划分问题（第2类Stirling数）

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问题描述

n个元素的集合{1,2,.,n }可以划分为若干个非空子集。例如，当n=4 时，集合{1,2,3,4}可以划分为15个不同的非空子集如下：
{1}，{2}，{3}，{4}}， {{1，2}，{3}，{4}}，
{{1，3}，{2}，{4}}， {{1，4}，{2}，{3}}，
{{2，3}，{1}，{4}}， {{2，4}，{1}，{3}}，
{{3，4}，{1}，{2}}， {{1，2}，{3，4}}，
{{1，3}，{2，4}}， {{1，4}，{2，3}}，
{{1，2，3}，{4}}， {{1，2，4}，{3}}，
{{1，3，4}，{2}}， {{2，3，4}，{1}}，
{{1，2，3，4}}
其中，集合{{1，2，3，4}} 由1个子集组成；集合{{1，2}，{3，4}}，{{1，3}，{2，4}}，{{1，4}，{2，3}}，{{1，2，3}，{4}}，{{1，2，4}，{3}}，{{1，3，4}，{2}}，{{2，3，4}，{1}} 由2个子集组成；集合{{1，2}，{3}，{4}}，{{1，3}，{2}，{4}}，{{1，4}.{2}，{3}}，{{2，3}，{1}，{4}}，{{2，4}，{1}，{3}}，{{3，4}，{1}，{2}} 由3 个子集组成；集合{{1}，{2}，{3}，{4}} 由4个子集组成。

编程任务：
给定正整数n 和m，计算出n 个元素的集合{1,2,., n }可以划分为多少个不同的由m个非空子集组成的集合。

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分析

第二类Stirling数问题 参考集合划分问题（Bell数）

第二类Stirling数的意义是：S(n,m)表示将n个物体划分成m个非空的不可辨别的（可以理解为盒子没有编号）集合的方法数。

设n个元素的集合可以划分为S(n,m)个不同的由m个非空子集组成的集合。
S(n,m)的两种情况:
一种是独自组成一个集合，另一种是和别的元素混在一起。
对於第一种情况，等价于把前n-1个元素分成m-1份，然后n号元素单独放。
对於第二种情况，等价于把前n-1个元素分成m份，然后把n号元素放入这m个集合中的一个（有m种放法）
推出：
S(n,m) = S(n-1,m-1) + m * S(n-1,m)

示例：
考虑3个元素的集合，可划分为
① 1个子集的集合：{{1，2，3}}
② 2个子集的集合：{{1，2}，{3}}，{{1，3}，{2}}，{{2，3}，{1}}
③ 3个子集的集合：{{1}，{2}，{3}}

S(3,1)=1; S(3,2)=3; S(3,3)=1;

如何求S(4,2)？
A.往①里添一个元素{4}，得到{{1，2，3}，{4}}
B.往②里的任意一个子集添一个4，得到
{{1，2，4}，{3}}，{{1，2}，{3，4}}，
{{1，3，4}，{2}}，{{1，3}，{2，4}}，
{{2，3，4}，{1}}，{{2，3}，{1，4}}

S(4,2) = S(3,1) + 2*S(3,2) ＝ 1+2*3 ＝ 7

推广，亦可得S(n,m) = S(n-1,m-1) + m*S(n-1,m)

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递归

Java: version 1

import java.util.Scanner;

public class Main {

    public static void main(String[] args) {
        Scanner input = new Scanner(System.in);

        while (true){
            long stirlingNumber = 0;

            System.out.println("Input n: ");
            int n = input.nextInt();

            System.out.println("Input m: ");
            int m = input.nextInt();

            stirlingNumber = S(n, m);

            System.out.println("There are "+stirlingNumber+" different sets!");
            System.out.println("----------------------------------------");
        }
    }

    private static long S(int n, int m){
        if((n < m) || (m == 0))
            return 0;
        if((m == 1) || (m == n))
            return 1;

        return m*S(n-1, m) + S(n-1, m-1);
    }
}

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Input & Output

Input n: 
4
Input m: 
3
There are 6 different sets!
----------------------------------------
Input n: 
20
Input m: 
5
There are 749206090500 different sets!
----------------------------------------
Input n: 
4
Input m: 
1
There are 1 different sets!
----------------------------------------
Input n: 

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数组

Java: version 2

import java.util.Scanner;

public class Main {

    private static long[][] S = new long[100][100];

    public static void main(String[] args) {
        Scanner input = new Scanner(System.in);

        while (true){

            System.out.println("Input n: ");
            int n = input.nextInt();

            System.out.println("Input m: ");
            int m = input.nextInt();

            Stirling2(n, m);

            System.out.println("There are "+S[n][m]+" different sets!");
            System.out.println("----------------------------------------");
        }
    }

    private static void Stirling2(int n, int m){
        int min;
        S[0][0] = 1;
        for(int i=1; i<=n; i++)
            S[i][0] = 0;
        for(int i=0; i<n; i++)
            S[i][i+1] = 0;
        for(int i=1; i<=n; i++){
            if(i < m)
                min = i;
            else
                min = m;
            for(int j=1; j<=min; j++)
                S[i][j] = j*S[i-1][j] + S[i-1][j-1];
        }
    }

}

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Input & Output

Input n: 
4
Input m: 
3
There are 6 different sets!
----------------------------------------
Input n: 
20
Input m: 
5
There are 749206090500 different sets!
----------------------------------------
Input n: 
41
Input m: 
2
There are 1099511627775 different sets!
----------------------------------------
Input n: 
4
Input m: 
1
There are 1 different sets!
----------------------------------------
Input n: 

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Reference

王晓东《计算机算法设计与分析》（第3版）P45-46