费马小定理降幂--nkoj3687 整数拆分

最新推荐文章于 2022-02-04 20:02:09 发布

INCINCIBLE

最新推荐文章于 2022-02-04 20:02:09 发布

阅读量724

点赞数 1

CC 4.0 BY-SA版权

分类专栏：数学

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/INCINCIBLE/article/details/51509746

数学专栏收录该内容

15 篇文章

订阅专栏

本文介绍了一道整数拆分问题的算法实现，利用费马小定理解决大数运算的问题，并提供了C++代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

P3687 整数拆分

时间限制 : - MS 空间限制 : 65536 KB

评测说明 : 时限1000ms

问题描述

给你一个正整数N，F(x)表示把N拆分成x个正整数之和的方案数。
例如，当n=5时：
F(1)=1,方案为：{5}
F(2)=4,方案为：{1+4} {4+1} {2+3} {3+2}
F(3)=6,方案为：{1+1+3} {1+3+1} {3+1+1} {1+2+2} {2+1+2} {2+2+1}
F(4)=4,方案为：{1+1+1+2} {1+1+2+1} {1+2+1+1} {2+1+1+1}
F(5)=1,方案为：{1+1+1+1+1}
请你计算出F(1)+F(2)+......+F(N)
结果可能很大，mod 1,000,000,007 再输出!

输入格式

第一行，一个整数N

输出格式

一行，一个整数，表示所求的结果

样例输入

5

样例输出

16

提示

对于50%的数据1<=N<=100

对于100%的数据1<=N<=10^100000

/*
考点：费马小定理降幂
经观察很容易推出答案是2^(n-1) mod 1000000007，设p=1000000007 
因为p是质数，根据费马小定理：a^(p-1) ≡1(mod p) 我们有：
2^(n-1)%p=2^((n-1)%(p-1)) %p
*/ 
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
char str[100005];

long long Montgomery(long long a,long long b,long long mod)//快速幂
{
	long long ans=1;
	while(b>0)
	{
		if(b&1)ans=(ans*a)%mod;
		a=(a*a)%mod;
		b=b>>1;
	}
	return ans;
}

int main(){
	    long long i,ans,num=0;
    	scanf("%s",str);
		int len=strlen(str);
		for(i=0;i<len;i++){
			num=( num*10+(str[i]-'0') )% (mod-1);//将字符数组转换成整数 
		}
		//num=n%(mod-1)
		if(num==0) ans=Montgomery(2,mod-2,mod);//此时n=mod-1,求2^(mod-2)
		else ans=Montgomery(2,num-1,mod);
		printf("%I64d\n",ans);
	return 0;
}

如果要输入一个很大很大的数n，最后要输出n模一个数的结果怎么办呢？

代码如下：

#include<iostream>  
#include<cstdio>  
#define LL long long  
using namespace std;  
const LL p =1000000007;  
void _read(LL &x){  
    char ch=getchar(); bool mark=false;  
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar())if(ch=='-')mark=true;  
    for(x=0;isdigit(ch);ch=getchar())x=(x*10+ch-'0')%(p-1);   //边读边取模  
    if(mark)x=-x;  
}  
  
int main(){  
    LL n;  
    _read(n);  
    cout<<n%p;  
}