题目汇总1

NO.1 CF Gym 100738A Fitting boxes

分类: 数学

简要题解:

• 设大矩形(长宽为$c,d$)水平放置,小矩形(长宽为$a,b$),与水平方向夹角为$\theta$,那么需要满足: $$b*sin\theta + a*cos\theta<=d\\ a*sin\theta + b*cos\theta<=c \\ \theta \in (0,\frac{\pi}{2})$$
• 判断是否有解即可

反思

• 需要找到合适的方式表达矩形的包含关系

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NO.2 Pretty Buses CF Gym - 100738E

分类: 树

简要题解:

• 先求出最小生成树,显然在司机们最后汇集到任意一个点花费相同,问题在于如何换车
• 换车次数限制是25,也就是$logn$ 级别,所以启发式合并就好了.

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NO.3 CF Gym - 100283A

分类: 数学

简要题解:

• 首先,设各边长度为$l_1,l_2...l_n$,能构成多边形的充要条件是$l_k<\sum_{i\neq k}l_i$
• 显然可以二分答案,问题转化为判定半径为$R$ 的圆能否包含给定的多边形
• 对于每一条边,假设其两端点均在圆上,可求出圆心角$\alpha_i$,判断$\sum{\alpha_i}<=2\pi$ 即可

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NO.4 CF Gym - 100283C

分类: dp

简要题解:

• 设$f(x,y,t)$表示从$(x,y)$这点出发,还剩下$t$单位的时间,能挖到的最多宝藏
• $f(x,y,t) = \sum{f(i,j,t-1)[|x-i|+|y-j|<=t-1]}$
• 令$x'=x+y,y'=x-y$,曼哈顿距离的限制转化成对$x',y'$ 的分别限制,可用前缀和优化.

反思

• 类似的,切比雪夫距离$d=max(|x1,x2|,|y1,y2|)$ 经过变换$x'=\frac{x+y}{2},y'=\frac{x-y}{2}$ 之后转化为了曼哈顿距离

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NO.5 CF Gym - 100739A

分类: 位运算,线段树

简要题解:

• 对序列求前缀xor后,按位讨论
• 问题转化为给定01序列,每次询问区间[L,R]求$\sum_{L\leq i,j\leq R}a_i xor a_j$
• 用线段树维护区间内0,1的数量即可

反思

• 异或运算满足自反律和交换律
• 设计位运算的题目常常逐位处理

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NO.6 CF Gym - 100971I

分类: 贪心

简要题解:

• 考虑任务之间没有依赖关系,那么直接按最晚时限 $d_i$ 依次做就是最优的
• 现在只是对任务$i$按照$d'_i=min\{ d_j | j \ rely\ on\ i \}$ 排序,DFS一次即可.

反思

• 从简单问题到复杂问题的思考方式

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NO.7 CF Gym - 100971M

分类: dp,单调性

简要题解:

• 设前缀$S_{1,2,...i}$ 最少能被分成$f(i)$ 个good_string
• $f(i) = min \{ f(j)+1|S_{j+1...i } \ is\ a\ goodstring \}$
• 注意到$f(i)$ 是单调递增的,能够转移的$j$ 的左端点随$i$增加也是只会的增大,用一个指针就能解决问题

反思

• 注意一些单调性总能简化问题…