关于二进制翻转（Kathy 函数？）

二进制翻转

一道题

  今天在看关于数位 DP 的东西的时候看到这这道题：luogu P2235 Kathy 函数。在这道题里面给出了一个神秘的函数（就是 Kathy 函数啦），它长这样：
{ f ( 1 ) = 1 f ( 3 ) = 3 f ( 2 n ) = f ( n ) f ( 4 n + 1 ) = 2 f ( 2 n + 1 ) − f ( n ) f ( 4 n + 3 ) = 3 f ( 2 n + 1 ) − 2 f ( n ) \begin{cases} \begin{aligned} &f(1) = 1 \\ &f(3) = 3\\ &f(2n) = f(n)\\ &f(4n+1) = 2f(2n+1) - f(n)\\ &f(4n+3) = 3f(2n+1) - 2f(n) \end{aligned} \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​​f(1)=1f(3)=3f(2n)=f(n)f(4n+1)=2f(2n+1)−f(n)f(4n+3)=3f(2n+1)−2f(n)​​
  就光看它的这个样子就长得不像什么正常函数。然后我就在那里研究这玩意儿的性质，搞了可能有一个多小时，发现自己啥都没研究出来（我太蒻了），就只是找到了一堆像题目中说的那种 $f(n)=n$ 的数（打表打出来的，程序放在下面）。比如 0 ~ 100 的这种数有： 1，3，5，7，9，15，17，21，27，31，33，45，51， 63，65，73，85，93， 99。前几个数看起来还可能有点规律，但是后面的数就开始越来越奇怪了。

  打表代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int kathy(int x){
   
   
	if(x == 1 or x == 3) return x;
	if(x % 2 == 0) return kathy(x / 2);
	if(x % 4 == 1){
   
   
		int n = x / 4;
		return 2 * kathy(2 * n + 1) - kathy(n);
	}
	if(x % 4 == 3){
   
   
		int n = x / 4;
		return 3 * kathy(2 * n + 1) - 2 * kathy(n);
	}
}

int main(){
   
   
	for(int i = 1; i <= 100; i++){
   
   
		if(i == kathy(i)) printf("%d\n", i);
	}
	return 0;
}

  然后我就又把 1000 之内的这些数给打出来了：
$$\begin{array}{rl}& 1,3,5,7,9,15,17,21,27,31,33,45,51,63,65,73,85,93,99,107,119,127,129,153,165,189\\ & 195,219,231,255,257,273,297,313,325,341,365,381,387,403,427,443,455,471,495,511\\ & 513,561,585,633,645,693,717,765,771,819,843,891,903,951,975\end{array}$$
  很好，更没有规律了。我唯一看出来的就是他们都是奇数，而且时不时就来两个相邻的奇数比如前面的 $(1,3,5,7,9)$；$(15,17)$；$(31,33)$；$(63，65)$；等等… 再之后就啥都看不出来了（我太蒻了）。
  于是我去看了题解然后就有了这篇文章。

一个证明

  看了题解之后我整个人都不好了，基本上每一篇题解都会说到这个函数就是完成二进制翻转的函数，但是好像都没有给出证明。
  二进制翻转就是说把这个数的二进制反过来再转成 10 进制，就比如说这样：4 的二进制是 $4=(100{)}_2$，然后把它的二进制颠倒过来变成 $(001{)}_2$ 然后再转化成 10 进制就是 1.所以 4 的二进制翻转就是 1。
  因为都没有证明，所以我就想代几个数进去看看能不能自己想办法证出来。结果代了好几个数之后只是确认了他就是完成二进制翻转的函数，然而没有提供任何思路给我。然后我又在网上继续翻，然后就找到了洛谷上的一片题解证明了这个函数的作用（虽然不知道这玩意儿是咋构造出来的，但起码知道了他为啥能这样用了）。下面是我用我的理解写出的证明过程，原文传送门在此：Kathy 函数的题解之一。

证明过程

  约定：$n^{\prime }$ 表示数字 $n$ 翻转之后的结果。比如 $n=4$，$n^{\prime }$ 就等于 1。
  首先 $f(1)=1，f(2)=f(1)=1，f(3)=3$ 显然成立。
  然后对于第一个递推式： $f(2n)=f(n)$ 来说，我们假设：
$$n=(\overline{a_1{a}_2{a}_3}$$