ID246783的博客

  相信大家都会辗转相除吧 qwq。  首先有一个引理：gcd⁡(a,b)=gcd⁡(a−b,b)\gcd(a, b) = \gcd(a - b, b)gcd(a,b)=gcd(a−b,b)  证明： 令 a=k1gcd⁡(a,b),b=k2gcd⁡(a,b)a = k_1\gcd(a, b), b = k_2\gcd(a, b)a=k1​gcd(a,b),b=k2​gcd(a,b) 显然有 gcd⁡(k1,k2)=1\gcd(k_1, k_2) = 1gcd(k1​,k2​)=1。然后 gcd⁡(a−b,

在所有方程中取两个出来合并（如果不能合并输出无解）只剩下一个方程直接解这唯一的一个方程得到答案完结撒花！！！

简单来说无限维的空间就可以理解成一个希尔伯特空间。操作就变成了对于很多的无限维向量，在每一个维度上取一个最大值，得到的新的数就是这些。然后我们发现好像式子已经化到最简了，但是我们算一下复杂度就会发现我们愉快的。了，就是尝试确定每一个质数的指数，同时记录一个约数个数就好了。这个东西是写在指数上的，所以根据扩展欧拉定理，运算的时候是对。对他质因数分解，然后希尔伯特空间中的维度就代表质因子的次数。，那么我们就得到了一个因数个数与原数相同的且值比原数小的数。就能被看成希尔伯特空间中的一个向量。...........

二次剩余  传送门：P5491 模板 二次剩余题目大意  二次剩余俗称模意义开根，给出 nnn 和 ppp 解方程：x2≡n(modp) x^2 \equiv n \pmod p x2≡n(modp)  我们保证 ppp 是一个奇素数定义  其实二次剩余的意思就是一个数 nnn，我们将 111 到 nnn 的所有数都平方一下变成：1,4,9,16,⋯ ,n21, 4, 9, 16, \cdots, n^21,4,9,16,⋯,n2  然后将这些数都模一个 ppp，这样就剩下了一些数，这些

阶和原根阶定义  m>1,m∈Z,gcd(a,m)=1,∃r∈[1,m−1]m > 1, m \in Z, gcd(a, m) = 1, \exist r \in[1, m - 1]m>1,m∈Z,gcd(a,m)=1,∃r∈[1,m−1] 使得 ar≡1(modm)a^{r} \equiv 1 \pmod mar≡1(modm)，满足条件的 rrr 中最小的一个就是 aaa 模 mmm 的阶一些性质  因为 gcd(a,m)=1gcd(a, m) = 1gcd(a,m)=1 所

n=φ∗I=∑d∣nφ(d)=φ(n)+∑d∣n∧d<nφ(d)φ(n)=n−∑d∣n∧d<nφ(d)∑i=1nφ(i)=∑i=1n(i−∑d∣i∧d<iφ(d))=∑i=1ni−∑i=1n∑d∣i∧d<iφ(d)=12n(n−1)−∑\begin{aligned}n = \varphi * I & = \sum_{d | n}\varphi(d) = \varphi(n) + \sum_{d | n \land d < n}\varphi(d) \\\varp

Lucas 定理结论  结论很简单，就是一个简单的式子（ppp 是质数）：Cnm≡Cnmod  pmmod  p×Cnpmp(modp) C_n^m \equiv C_{n \mod p}^{m \mod p} \times C_{\frac{n}{p}}^{\frac{m}{p}} \pmod p Cnm​≡Cnmodpmmodp​×Cpn​pm​​(modp)  根据这个式子，我们就能快速计算 ppp 较小的组合数了。  具体来说，现预处理出一个数组 frac[i]frac[i]frac[i]

关于勾股数组勾股定理  首先是勾股定理：a2+b2=c2 a^2 + b^2 = c^2 a2+b2=c2勾股数组的定义  然后是勾股数组：一个正整数三元组：(a,b,c)(a, b, c)(a,b,c)，满足 a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2a2+b2=c2，那么这个三元组就是一个勾股数组 （是有够简单的了）。非常简单，是不是？但是如果你想 装逼 让别人觉得你很厉害的话，那么你可以把这玩意儿叫做 “毕达哥拉斯三元组” （逼格瞬间就上来了有没有 qwq）。  我们来举几个例子：

传送门：数论函数学习笔记埃氏筛  埃氏筛的思想很简单，就是从前往后，遇到一个质数就把所有后面小于 n 的这个质数的倍数全都标记为合数。后面遇到他们就直接跳过。一、筛质数  按照上面的思想直接模拟就好了，时间复杂度 O(nlog⁡log⁡n)O(n \log \log n)O(nloglogn)：#include<bits/stdc++.h>using namespace std;#define MAXN 100100int v[MAXN] = { 0 };

整除分块  大概要是长成这样的就能用到整除分块：∑i=1n⌊ni⌋ \sum_{i=1}^n \left\lfloor \frac ni \right\rfloor i=1∑n​⌊in​⌋  计算这个东西用 O(n)O(n)O(n) 的复杂度是显然能解决的，但是在某些考大家思维 毒瘤 的题目里面，就会把你这种做法给卡掉。这时候我们就可以用整除分块来把这个东西的复杂度降到 O()nO()\sqrt{n}O()n​。  我们可以通过打表 证明 发现许多的 ⌊ni⌋\left\lfloor \frac n

数论函数  定义在整数域上的实值或复值函数叫做数论函数积性函数  一个数论函数如果满足 gcd(p,q)=1gcd(p, q) = 1gcd(p,q)=1（也就是 p, q 互质）的时候有 f(pq)=f(p)f(q)f(pq) = f(p)f(q)f(pq)=f(p)f(q)，那么这个函数叫做积性函数。  几个是积性函数的例子：I(n)=1不变的函数id(n)=n单位函数Ik(n)=nk幂函数ε(n)=[n=1]={1(n=1)0otherwise原函数\begin{aligned}&amp

Mo¨biusM\ddot{o}biusMo¨bius 反演  这个人将的超级好！：https://www.cnblogs.com/chenyang920/p/4811995.html。

中国剩余定理  设 m1,m2,⋯ ,mnm_1, m_2, \cdots, m_nm1​,m2​,⋯,mn​ 是两两互质的整数，m=∏i=1nmi,    Mi=mmim = \prod_{i=1}^{n}m_i,\;\; M_i = \frac{m}{m_i}m=∏i=1n​mi​,Mi​=mi​m​，tit_iti​ 是线性同余方程 Miti≡1(modmi)M_it_i \equiv 1 \pmod {m_i}Mi​ti​≡1(modmi​)的一个解。对任意一的 n 个整数 a1,a2,⋯ ,an

一、互质与欧拉函数互质：  ∀a,b∈N\forall a, b \in N∀a,b∈N，如果 gcd(a, b) = 1，则称 a, b 互质。  对于三个或以上的数，我们吧 gcd(a, b, c) = 1 的情况称为 a, b, c 互质。把 gcd(a, b) = gcd(a, c) = gcd(b, c) = 1 的情况称为 a, b, c 两两互质。欧拉函数：  1 ~ N 中的与 N 互质的整数的个数叫做欧拉函数 记做 φ(N)\varphi(N)φ(N)。  在算术基本定理中 n

扩展欧几里得BeˊzoutB\acute{e}zoutBeˊzout定理对任何整数a、b和它们的最大公约数d，关于未知数x和y的线性不定方程（称为裴蜀等式）：若a,b是整数,且gcd(a,b)=d，那么对于任意的整数x,y,ax+by都一定是d的倍数，特别地，一定存在整数x,y，使ax+by=d成立。它的一个重要推论是：a,b互质的充分必要条件是存在整数x, y使ax+by=1.(以上内容来自百度)证明：我们知道在欧几里得算发的最后一步，即 b = 0 时，显然有 x = 1, y = 0

乘法逆元#include<bits/stdc++.h>using namespace std;int a = 0, b = 0;int exgcd(int a, int b, int &x, int &y){ // ax + by = gcd(a, b) --> (x, y) if(b == 0){ x = 1; y = 0; return a; } int d = exgcd(b, a % b, x, y); int z = x;