数学分析--实数系的连续性_设u是s上界的集合则u无最大数但是u有最小数证明-优快云博客

实数系的连续性

最大数&最小数

最大数：若 $∃ξ∈S\exist \xi \in S$ ，对于 $∀xinS\forall x in S$ ，有 $\leq \xi$ ，则 $ξ\xi$ 是 $S$ 中的最大数，记为 $ξ=max⁡S\xi = \max S$

最小数：若 $∃η∈S\exist \eta \in S$ ，对于 $∀x∈S\forall x \in S$ ，有 $\geq \eta$ ，则 $η\eta$ 是 $S$ 中的最小数，记为 $η=min⁡S\eta = \min S$

$\subset R$ ， $S$ 非空，若 $S$ 是有限集，则 $S$ 必有最大数和最小数，若 $S$ 是无限集，则不一定有最大数和最小数

上确界&下确界

$\subset R$ ， $S$ 非空，若 $∃M∈R\exist M \in R$ ，对于 $∀x∈S\forall x \in S$ ，都有 $\leq M$ ，则 $M$ 为 $S$ 的一个上界，或称 $S$ 有上界。设 $U$ 为 $S$ 上界的集合，则 $U$ 没有最大数但是 $U$ 一定有最小数，记它为 $β\beta$ ， $β=sup⁡S\beta = \sup S$ ，称为 $S$ 的上确界

对于 $β\beta$ 来说：

$β\beta$ 是上界： $∀x∈S\forall x \in S$ ， $\leq \beta$
$β\beta$ 是最小上界： $∀ϵ>0\forall \epsilon > 0$ ， $∃x∈S\exist x \in S$ ， $\beta - \epsilon$ （也就是对于任意小的 $ϵ\epsilon$ ， $β−ϵ\beta - \epsilon$ 都不是上界）

$\subset R$ ， $S$ 非空，若 $∃m∈R\exist m \in R$ ，对于 $∀x∈S\forall x \in S$ ，都有 $\geq m$ ，则 $m$ 为 $S$ 的一个下界，或称 $S$ 有下界。设 $L$ 为 $S$ 下界的集合，则 $L$ 没有最小数但是 $L$ 一定有最大数，记它为 $α\alpha$ ， $α=inf⁡S\alpha = \inf S$ ，称为