洛谷 P1197 [JSOI2008]星球大战(并查集)

这篇博客介绍了如何使用并查集解决一道关于星球连通性的编程竞赛题。在星球大战的背景下,反抗军需要计算每次帝国攻击后剩余星球的连通块数量。通过反向构建过程,将摧毁星球视为重建连接,利用并查集维护连通性,并给出了C++代码实现。

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题目描述

题目链接:洛谷 P1197 [JSOI2008]星球大战
很久以前,在一个遥远的星系,一个黑暗的帝国靠着它的超级武器统治着整个星系。

某一天,凭着一个偶然的机遇,一支反抗军摧毁了帝国的超级武器,并攻下了星系中几乎所有的星球。这些星球通过特殊的以太隧道互相直接或间接地连接。

但好景不长,很快帝国又重新造出了他的超级武器。凭借这超级武器的力量,帝国开始有计划地摧毁反抗军占领的星球。由于星球的不断被摧毁,两个星球之间的通讯通道也开始不可靠起来。

现在,反抗军首领交给你一个任务:给出原来两个星球之间的以太隧道连通情况以及帝国打击的星球顺序,以尽量快的速度求出每一次打击之后反抗军占据的星球的连通块的个数。(如果两个星球可以通过现存的以太通道直接或间接地连通,则这两个星球在同一个连通块中)。
输入格式
输入文件第一行包含两个整数, n , m n,m n,m,分别表示星球的数目和以太隧道的数目。星球用 0 ∼ n − 1 0∼n−1 0n1的整数编号。

接下来的 m m m 行,每行包括两个整数 x , y x,y x,y,表示星球 x x x 和星球 y y y 之间有 “以太” 隧道,可以直接通讯。

接下来的一行为一个整数 k k k ,表示将遭受攻击的星球的数目。

接下来的 k k k行,每行有一个整数,按照顺序列出了帝国军的攻击目标。这 k k k 个数互不相同,且都在 0 0 0 n − 1 n−1 n1 的范围内。

输出格式
第一行是开始时星球的连通块个数。接下来的 k k k 行,每行一个整数,表示经过该次打击后现存星球的连通块个数。
输入输出样例

输入
8 13
0 1
1 6
6 5
5 0
0 6
1 2
2 3
3 4
4 5
7 1
7 2
7 6
3 6
5
1
6
3
5
7

输出
1
1
1
2
3
3

说明/提示
【数据范围】
对于 100 100% 100 的数据, 1 ≤ m ≤ 2 × 1 0 5 , 1 ≤ n ≤ 2 m , x ≠ y 1≤m≤2×10^5,1≤n≤2m,x≠y 1m2×105,1n2m,x=y
[JSOI2008]

并查集解法

整体思路是将“摧毁”的过程逆过来看成一个“重建”的过程。然后用并查集维护各点之间的连通性即可。将样例中的摧毁过程画出来就不难理解“逆向重建”的做法了。图中处于“摧毁”状态的结点用深色标出,具体步骤如下(请结合样例图进行理解):
1.将星球之间的连接情况存成一张图,将摧毁星球的编号依次存入数组。用数组d[]记录点的摧毁情况,d[i]为1\0表示点i被摧毁\没被摧毁,初始时所有要被摧毁的点都标为被摧毁状态,见最后一张图。记第i次摧毁后的连通块个数为a[i]。
2.结合样例和答案可以发现,那些被摧毁了的点并不参与连通块的统计,这一点很重要!
3.在“重建”之前要确定一下此时的连通性(对应最终的连通块个数):首先把当前连通块个数初始化为没有被摧毁的结点对应的连通块个数——遍历一下图,将那些在初始图上有连接且没处于摧毁状态的结点合并。这些结点没有被摧毁的结点对应的连通块个数即为最终的连通块个数。
4.按摧毁的逆序进行合并,如此处样例中要按7、5、3、6、1的顺序合并。每次合并,将与该结点相连且没有处于摧毁状态的结点合并,同时记录用a[]逆序存储当前连通块个数、并把这个处于摧毁状态的结点设为没有被摧毁的状态。重复此过程到最后即可。
5.输出答案数组a[]。
在这里插入图片描述

C++代码

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
   using namespace std;
   const int M=4e5+1000;
   struct edge{   
   int u;
   int v;
   int next;
   }e[M];

   int head[M],cnt=0;

   void Insert(int u,int v){
   cnt++;
   e[cnt].u=u;
   e[cnt].v=v;
   e[cnt].next=head[u];
   head[u]=cnt;
   }

   int f[M];
   int get_f(int x){
   return f[x]==x ? x : f[x]=get_f(f[x]);
   }

   int a[M],d[M],res;
   void Merge(int x,int y){
   int fx=get_f(x);
   int fy=get_f(y);
   if(fx!=fy){
    f[fy]=fx;
    res--;
   }
   }
   int main(){
       memset(head,-1,sizeof(head));
   int n,m;
   scanf("%d%d",&n,&m);
   for(int i=0;i<=n;i++)f[i]=i;
   for(int i=1;i<=m;i++){
    int x,y;
    scanf("%d%d",&x,&y);
    Insert(x,y);
    Insert(y,x);
   }
   int k,ans[M];
   res=n;
   scanf("%d",&k);
   for(int i=1;i<=k;i++){
    scanf("%d",&a[i]);
    if(!d[a[i]]) res--;
    d[a[i]]=1;
   }
   for(int i=0;i<n;i++){
    int u=i;
    if(!d[u]){
        for(int j=head[u];j>=0;j=e[j].next){
            int v=e[j].v;
            if(!d[v]){
                Merge(u,v);
            }
        }
    }
   }
   for(int i=k;i>=1;i--){
      ans[i]=res;
      d[a[i]]=0;
      res++;
      int u=a[i];
    for(int j=head[u];j>=0;j=e[j].next){
        int v=e[j].v;
        if(!d[v]){
            Merge(u,v);
          }
      }
   }
   ans[0]=res;
   for(int i=0;i<=k;i++)
   printf("%d\n",ans[i]);
   return 0;
   }





<think>好的,我现在需要帮助用户解决关于“连通块中点的数量”类型题目在上的查找问题。首先,我得明确用户的需求是什么。用户可能是在准备算法竞赛,或者在学习图论相关的知识,特别是涉及到连通块的问题。这类问题通常需要处理并查集(Union-Find)结构,因为并查集非常适合处理动态连通性问题,能够高效地合并集合和查询集合的大小。 用户提到的“连通块中点的数量”应该是指每个连通块中包含的节点数量,这在很多题目中是一个常见的需求。例如,当两个节点合并时,需要更新它们所在连通块的总数,或者在查询时返回某个节点所在连通块的大小。因此,用户可能在寻找这类需要维护连通块大小的问题。 接下来,我需要回忆上的相关题目。是一个中文算法题库,题目数量众多,覆盖各种难度和类型。对于连通块问题,尤其是涉及点数量的,经典的题目包括: 1. **P1551 亲戚**:这道题是并查集的基础应用,询问两个人是否属于同一个家族(连通块)。虽然主要涉及连通性判断,但可能需要统计家族成员数量,但题目本身可能不直接要求,不过可以作为入门练习。 2. **P3367 【模板】并查集**:这是并查集的模板题,通常包括合并和查询操作。如果用户需要处理连通块大小,可能需要在这个模板基础上进行扩展,添加一个size数组来记录每个集合的大小。 3. **P1197 [JSOI2008] 星球大战**:这道题涉及到动态删边后的连通块数量统计,可能需要逆向使用并查集,并且在每次删除节点后重新计算连通块数量。虽然主要关注连通块数量,但可能需要维护每个连通块的大小,尤其是在处理动态变化时。 4. **P1455 搭配购买**:这道题结合了并查集和背包问题,需要将连通块内的物品合并,并统计每个连通块的总价值和价格,然后进行背包计算。这里每个连通块的大小(即物品数量)可能是一个需要考虑的因素,但更主要是价值和价格的总和。 5. **P6121 [USACO16OPEN]Closing the Farm G**:与星球大战类似,处理动态关闭农场后的连通性问题,可能需要维护连通块的数量和大小。 不过,用户特别提到的是“连通块中点的数量”,所以需要更精准的题目推荐。例如,题目中明确要求合并两个连通块后输出新的数量,或者在每次操作后查询某个点所在连通块的大小。这时候可能需要查找更具体的题目。 比如,**P3300 [SDOI2013]城市规划**可能涉及连通块的管理,但不确定是否直接涉及点数量。而**P3144 [USACO16OPEN]关闭农场Closing the Farm**可能更接近,但需要确认题目要求。此外,**P5837 [USACO19DEC]Milk Visits G**也可能涉及连通块的统计,但可能更侧重于路径上的特定条件。 可能需要进一步确认中是否有直接要求维护连通块大小的题目。例如,在并查集的扩展应用中,维护每个集合的大小是一个常见变种,用户需要找到这样的题目。例如,在合并两个集合时,不仅合并父节点,还要将大小相加,并且在查询时返回该节点所在集合的大小。 这时候,可能需要搜索的题库,使用关键词如“并查集 大小”、“连通块数量”、“节点数”等。或者回忆具体的题目编号。例如,**P1456 Monkey King** 这道题可能需要维护集合中的最大值,但不确定是否涉及大小。而**P2024 [NOI2001] 食物链**则是更复杂的并查集应用,涉及权值计算,可能不直接相关。 再仔细想想,可能**P1196 [NOI2002] 银河英雄传说**是一个典型题目,需要维护每个集合的大小以及节点到根的距离,用于计算两艘战舰之间的间隔。虽然主要关注距离,但维护集合大小是其中的一部分,可能符合用户的需求。不过题目中的“点的数量”可能更偏向于集合的大小,而这道题确实需要记录每个集合的元素数量,所以可能是一个合适的例子。 此外,**P2661 [NOIP2015 提高组] 信息传递**涉及检测图中的最小环,使用并查集来检测环的形成,虽然不直接统计连通块大小,但可能在处理过程中需要记录路径长度,这可能与连通块大小有关联。 总结一下,用户需要的是在上找到那些需要维护连通块中点数量的题目,这通常涉及并查集结构的扩展,比如添加一个size数组来记录每个根节点对应的集合大小。因此,推荐的题目应该明确要求输出连通块中的节点数量,或者在操作过程中需要合并并更新数量。 可能之前提到的**P3367 【模板】并查集**虽然基础,但用户可能需要在其基础上进行修改,添加size数组,而上可能有类似的需要维护大小的题目。例如,**P1955 [NOI2015] 程序自动分析**虽然主要涉及并查集的合并和相等性判断,但可能不涉及大小统计。 可能需要进一步检查题库中的相关题目。例如,搜索“连通块 数量”可能找到**P1330 封锁阳光大学**,该题涉及图的染色和连通块处理,但不确定是否直接统计节点数量。或者**P2294 [HNOI2005] 狡猾的商人**,涉及差分约束,可能不相关。 最终,可能需要直接推荐几个明确需要维护连通块大小的题目。例如: - **P1197 [JSOI2008] 星球大战**:虽然主要关注连通块数量,但在每次删除节点后可能需要重新计算连通块,维护每个连通块的大小可能有助于优化。 - **P6121 [USACO16OPEN]Closing the Farm G**:类似星球大战,处理动态连通性问题,可能需要统计每个步骤后的连通块大小。 - **P1455 搭配购买**:合并连通块并统计总价值,可以扩展为统计节点数量。 - **P3300 [SDOI2013]城市规划**:可能涉及连通块管理,但需要确认题目描述。 - **P2661 [NOIP2015 提高组] 信息传递**:虽然主要找环,但可能间接涉及连通块大小。 如果用户需要更直接的题目,可能需要具体说明,例如是否存在题目要求在每次合并后输出连通块的大小,或者查询某个节点所在连通块的大小。例如,假设上有类似“在每次合并后输出两个连通块合并后的总节点数”,那么这样的题目会更符合用户的需求。 例如,假设存在题目如下: - **P某题号**:给定n个点,初始时每个点独立。进行m次操作,操作分为两种:合并两个点所在的连通块,或者查询某个点所在连通块的大小。要求对每个查询操作输出结果。 这样的题目正是用户所需要的类型。如果在上存在这样的题目,就需要推荐它。例如,我是否记得上有这样的模板题或者类似的问题? 例如,**P3367 【模板】并查集**的扩展版本,用户可能需要自行实现size数组,但可能没有专门的题目编号。或者可能存在其他题目,比如**P2024 [NOI2001] 食物链**虽然涉及更复杂的并查集,但可能不直接统计大小。 或者可能有一个名为“连通块中点数量”的题目,比如**P某题号**。如果用户无法直接找到,可能需要指导用户如何通过关键词搜索,例如在题库中搜索“并查集 维护大小”或“连通块 节点数量”。 此外,可能用户需要的不仅是题号,还有解题思路的提示。比如,这类题目的解法通常是使用并查集结构,并在每个根节点维护一个size变量,表示该集合的元素数量。在合并时,将小集合合并到大集合,并更新size。查询时直接返回该根节点的size值。 因此,回答中可能需要包括: 1. 推荐上的相关题目,尤其是明确需要维护连通块大小的题目。 2. 如果没有直接的题目,指导用户如何通过模板题扩展实现。 3. 提供解题思路,说明如何使用并查集维护size。 现在需要确认上是否存在这样的题目。根据我的知识截止到2023年10月,可能存在的题目包括: - **P3367 【模板】并查集**:虽然基础,但用户需要自行添加size处理。 - **P1455 搭配购买**:合并连通块后处理总价值,可以类比为维护size。 - **P1197 [JSOI2008] 星球大战**:动态连通性问题,可能需要维护size。 另外,可能还有其他题目,比如**P3144 [USACO16OPEN]Closing the Farm G**,处理关闭节点后的连通块情况,可能需要统计剩余节点形成的连通块大小。 如果用户无法找到直接题目,可能需要调整策略,建议他们使用并查集维护size的方法,并尝试应用到相关题目中,比如在合并时统计大小,或者解决需要知道连通块节点数量的问题。 最后,可能需要指出,虽然某些题目不直接询问连通块大小,但在解题过程中需要维护这一信息,因此掌握该方法对解决类似问题很有帮助。</think>在(Luogu)上,涉及 **“连通块中点的数量”** 的题目通常属于 **并查集(Union-Find)** 或 **图遍历(DFS/BFS)** 的范畴。以下是几道典型题目及解题思路: --- ### **推荐题目列表** #### 1. **P1551 亲戚** **链接**:https://www.luogu.com.cn/problem/P1551 **题意**:判断两个人是否属于同一家族(即连通性问题)。 **关联点**:虽然不直接统计数量,但可以通过并查集维护连通块大小,作为练习扩展。 --- #### 2. **P1197 [JSOI2008] 星球大战** **链接**:https://www.luogu.com.cn/problem/P1197 **题意**:动态删边后,求剩余连通块数量。 **关键点**: - 逆向操作(从删边转为加边),使用并查集维护连通性。 - 可扩展为统计每个连通块的大小。 --- #### 3. **P1455 搭配购买** **链接**:https://www.luogu.com.cn/problem/P1455 **题意**:将多个物品合并为连通块,求背包容量内的最大价值。 **关联点**: - 使用并查集合并物品,维护每个连通块的总价值和价格(类似维护点的数量)。 --- #### 4. **P6121 [USACO16OPEN]Closing the Farm G** **链接**:https://www.luogu.com.cn/problem/P6121 **题意**:动态关闭节点后,判断图是否始终连通。 **扩展性**:可统计每次关闭节点后的连通块大小。 --- #### 5. **P3144 [USACO16OPEN]关闭农场Closing the Farm** **链接**:https://www.luogu.com.cn/problem/P3144 **题意**:与 P1197 类似,但更简单,适合入门练习动态连通性问题。 --- ### **解题核心思路** #### **并查集维护连通块大小** 若题目需要直接统计连通块中点的数量,需在并查集中增加 `size[]` 数组,记录每个根节点对应的集合大小: 1. **初始化**:每个节点的 `size[i] = 1`。 2. **合并操作**:合并时,将小集合的 `size` 累加到大集合的 `size` 中。 3. **查询操作**:直接返回根节点对应的 `size` 值。 **代码片段**: ```cpp int parent[N], size[N]; int find(int x) { if (parent[x] != x) parent[x] = find(parent[x]); return parent[x]; } void merge(int x, int y) { int fx = find(x), fy = find(y); if (fx != fy) { if (size[fx] > size[fy]) swap(fx, fy); parent[fx] = fy; size[fy] += size[fx]; // 维护连通块大小 } } ``` --- ### **题目变形与技巧** 1. **动态连通性**:如星球大战,逆向操作 + 并查集。 2. **连通块属性统计**:如搭配购买,维护连通块的总价值、最大值等。 3. **多次查询优化**:预处理连通块信息,减少重复计算。 --- ### **如何搜索类似题目** 在题库中,使用关键词 **“并查集”**、**“连通块”**、**“统计大小”** 进行搜索,或筛选 **“图论”** 和 **“数据结构”** 标签下的题目。 --- 如果需要更具体的题目分析或代码实现细节,可以进一步提问!
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