logn的最长公共子序列

最长公共子序列（LCS）最常见的算法是时间复杂度为O(n^2)的动态规划(DP)算法，但在James W. Hunt和Thomas G. Szymansky 的论文”A Fast Algorithm for Computing Longest Common Subsequence”中，给出了O(nlogn)下限的一种算法。
定理：设序列A长度为n，{A(i)}，序列B长度为m，{B(i)}，考虑A中所有元素在B中的序号，即A某元素在B的序号为{Pk1,Pk2,..}，将这些序号按照降序排列，然后按照A中的顺序得到一个新序列，此新序列的最长严格递增子序列即对应为A、B的最长公共子序列。
举例来说，A={a,b,c,d,b}，B={b,c,a,b}，则a对应在B的序号为2，b对应序号为{3,0}，c对应序号为1，d对应为空集，生成的新序列为{2,3, 0, 1, 3, 0}，其最长严格递增子序列为{0,1,3}，对应的公共子序列为{b, c, b}

实现代码：（洛谷P1439）：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<string>
using namespace std;
const int N=1000005;
vector<int>v[N],a,d;
int main()
{
    int n,i,j,A[N],B[N];
    cin>>n;
    for(i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&A[i]);
    for(i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&B[i]);
    for(i=n;i;i--)
        v[B[i]].push_back(i);//保证后面a中的序列是按照B中从前往后的顺序出现,所以要倒序
    for(i=1;i<=n;i++){
        int now=A[i];
        if(v[now].empty())continue;
        for(int j=0;j<v[now].size();j++)//将A中的数按在B中出现的顺序加入a
            a.push_back(v[now][j]);
    }
    if(!a.empty()){//logn的最长上升子序列
        d.push_back(a[0]);
        for(i=1;i<a.size();i++){
            if(a[i]>d.back())d.push_back(a[i]);
            else{
                vector<int>::iterator iter=lower_bound(d.begin(),d.end(),a[i]);
                *iter=a[i];
            }
        }
    }
    cout<<d.size()<<endl;

    return 0;
}

字符串版：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<string>
#include<cstring>
using namespace std;
vector<int>v[30],a,d;
int main()
{
    freopen("test.in","r",stdin);
    freopen("zj.out","w",stdout);
    int n;string str1,str2;
    cin>>n;getchar();getline(cin,str1);getline(cin,str2);
    for(int i=str2.size()-1;i>=0;i--)v[str2[i]-'a'].push_back(i);
    for(int i=0;i<n;i++){
        int now=str1[i]-'a';
        if(v[now].empty())continue;
        for(int j=0;j<v[now].size();j++)
            a.push_back(v[now][j]);
    }
    if(!a.empty()){
        d.push_back(a[0]);
        for(int i=0;i<a.size();i++){
            if(a[i]>d.back())d.push_back(a[i]);
            else{
                vector<int>::iterator iter=lower_bound(d.begin(),d.end(),a[i]);
                *iter=a[i];
            }
        }
    }
    cout<<d.size()<<endl;

    return 0;
}

附：朴素o（n2）的最长公共子序列：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
int f[200005][200005];
int main()
{
    freopen("test.in","r",stdin);
    freopen("bl.out","w",stdout);
    int n,i,j,k;
    string str1,str2;
    cin>>n;getchar();getline(cin,str1);getline(cin,str2);
    //if(str1[0]==str2[0])f[0][0]=1;
    for(i=0;i<n;i++){
        for(j=0;j<n;j++){
            if(str1[i]==str2[j])f[i][j]=max(f[i][j],((i==0||j==0)?0:f[i-1][j-1])+1);
            else{
                f[i][j]=max(f[i][j],max(i==0?0:f[i-1][j],j==0?0:f[i][j-1]));
            }
        }
    }
    cout<<f[n-1][n-1]<<endl;

    return 0;
}