Multiple View Geometry(多视图几何)学习笔记(22)—射影摄像机对平面、直线和二次曲线的作用

本文探讨了摄像机对平面、直线及二次曲线的投影作用,解析了平面射影变换、直线的正反向投影原理及其Plücker表示,并讨论了二次曲线反向投影成锥面的情况。

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           射影摄像机对平面、直线和二次曲线的作用

1.对平面的作用
  假定选择XY−XY-XY平面与景物中的平面π\piπ对应,使得平面上的点ZZZ坐标为零。
x=PX=(p1p2p3p4)(XY01)=(p1p2p4)(XY1)\mathbf{x}=P\mathbf{X}=\begin{pmatrix} \mathbf{p_1} & \mathbf{p_2} &\mathbf{p_3} & \mathbf{p_4} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X\\ Y\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \mathbf{p_1} & \mathbf{p_2} & \mathbf{p_4} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X\\ Y\\ 1 \end{pmatrix}x=PX=(p1p2p3p4)XY01=(p1p2p4)XY1

  即:x=Hxπ\mathbf{x} =H\mathbf{x_\pi}x=Hxπ。在透视影像下, 一张景物平面与一张图像平面之间最一般的变换是平面射影变换。

2.对直线的作用
正向投影
  AAABBB是3维空间的点,而aaabbb是它们在PPP作用下的图像。
x(μ)=P(A+μB)=PA+μPB=a+μbx(\mu )=P(A+\mu B)=PA+\mu PB=a+\mu bx(μ)=P(A+μB)=PA+μPB=a+μb
直线的反向投影
结论1: 经射像机矩阵PPP映射成一条直线lll的空间的点集是平面PTlP^TlPTl
Plücker 直线表示
结论2: 一条用Plücker矩阵LLL表示的3维空间直线,在摄像机映射PPP作用下被映射成满足
[l]×=PLPT[l]_\times =PLP^T[l]×=PLPT

的直线lll

  线投影矩阵PPP:
P=(P2∧P3P3∧P1P1∧P2)P=\begin{pmatrix} P^2\wedge P^3\\ P^3\wedge P^1\\ P^1\wedge P^2 \end{pmatrix}P=P2P3P3P1P1P2
  其中PiTP^{iT}PiT是点摄像机矩阵PPP的行,而Pi∧PjP^i\wedge P^jPiPj是平面PiP^iPiPjP^jPj的交线的Plücker 坐标。

结论3: 在线投影矩阵PPP作用下,IP3IP^3IP3中用Plücker 坐标表示的直线££被映射到图像直线:
l=P£=((P2∧P3∣£)(P3∧P1∣£)(P1∧P2∣£))l=P£=\begin{pmatrix} (P^2\wedge P^3|£)\\ (P^3\wedge P^1|£)\\ (P^1\wedge P^2|£) \end{pmatrix}l=P=(P2P3)(P3P1)(P1P2)

  • IP3IP^3IP3中满足P£=0P£= 0P=0的直线££必过摄像机中心。

3.对二次曲线的作用

结论4: 在摄像机PPP作用下, 二次曲线CCC反向投影成锥面
QCO=PTCPQ_{CO}=P^TCPQCO=PTCP

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