射影摄像机对平面、直线和二次曲线的作用
1.对平面的作用
假定选择XY−XY-XY−平面与景物中的平面π\piπ对应,使得平面上的点ZZZ坐标为零。
x=PX=(p1p2p3p4)(XY01)=(p1p2p4)(XY1)\mathbf{x}=P\mathbf{X}=\begin{pmatrix}
\mathbf{p_1} & \mathbf{p_2} &\mathbf{p_3} & \mathbf{p_4}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
X\\
Y\\
0\\
1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\mathbf{p_1} & \mathbf{p_2} & \mathbf{p_4}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
X\\
Y\\
1
\end{pmatrix}x=PX=(p1p2p3p4)⎝⎜⎜⎛XY01⎠⎟⎟⎞=(p1p2p4)⎝⎛XY1⎠⎞
即:x=Hxπ\mathbf{x} =H\mathbf{x_\pi}x=Hxπ。在透视影像下, 一张景物平面与一张图像平面之间最一般的变换是平面射影变换。
2.对直线的作用
正向投影
AAA和BBB是3维空间的点,而aaa,bbb是它们在PPP作用下的图像。
x(μ)=P(A+μB)=PA+μPB=a+μbx(\mu )=P(A+\mu B)=PA+\mu PB=a+\mu bx(μ)=P(A+μB)=PA+μPB=a+μb
直线的反向投影
结论1: 经射像机矩阵PPP映射成一条直线lll的空间的点集是平面PTlP^TlPTl
Plücker 直线表示
结论2: 一条用Plücker矩阵LLL表示的3维空间直线,在摄像机映射PPP作用下被映射成满足
[l]×=PLPT[l]_\times =PLP^T[l]×=PLPT
的直线lll。
线投影矩阵PPP:
P=(P2∧P3P3∧P1P1∧P2)P=\begin{pmatrix}
P^2\wedge P^3\\
P^3\wedge P^1\\
P^1\wedge P^2
\end{pmatrix}P=⎝⎛P2∧P3P3∧P1P1∧P2⎠⎞
其中PiTP^{iT}PiT是点摄像机矩阵PPP的行,而Pi∧PjP^i\wedge P^jPi∧Pj是平面PiP^iPi与PjP^jPj的交线的Plücker 坐标。
结论3: 在线投影矩阵PPP作用下,IP3IP^3IP3中用Plücker 坐标表示的直线£££被映射到图像直线:
l=P£=((P2∧P3∣£)(P3∧P1∣£)(P1∧P2∣£))l=P£=\begin{pmatrix}
(P^2\wedge P^3|£)\\
(P^3\wedge P^1|£)\\
(P^1\wedge P^2|£)
\end{pmatrix}l=P£=⎝⎛(P2∧P3∣£)(P3∧P1∣£)(P1∧P2∣£)⎠⎞
- IP3IP^3IP3中满足P£=0P£= 0P£=0的直线£££必过摄像机中心。
3.对二次曲线的作用
结论4: 在摄像机PPP作用下, 二次曲线CCC反向投影成锥面
QCO=PTCPQ_{CO}=P^TCPQCO=PTCP