程序设计与算法(二)测验汇总011:最佳加法表达式(DP、高精度)

本文探讨了如何通过在数字间插入加号以形成最小加法表达式的问题。利用动态规划的方法,通过预处理和高精度计算实现了有效的解决方案。

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描述

给定n个1到9的数字,要求在数字之间摆放m个加号(加号两边必须有数字),使得所得到的加法表达式的值最小,并输出该值。例如,在1234中摆放1个加号,最好的摆法就是12+34,和为36

输入

有不超过15组数据
每组数据两行。第一行是整数m,表示有m个加号要放( 0<=m<=50)
第二行是若干个数字。数字总数n不超过50,且 m <= n-1

输出

对每组数据,输出最小加法表达式的值

样例输入

2
123456
1
123456
4
12345

样例输出

102
579
15

提示

要用到高精度计算,即用数组来存放long long 都装不下的大整数,并用模拟列竖式的办法进行大整数的加法。


解题分析

假定数字串长度为n,添加完加号后,表达式的最后一个加号添加在第i个数字后面,那么整个表达式的最小值,就等于在前i个数字中插入m-1个加号所能形成的最小值,加上第i+1到第n个数字所组成的数的值(i从1开始算)。

设V(m,n)表示在n个数字中插入m个加号所能形成的表达式最小值,那么:

if(m==0)
V(m,n)=Num(1,n);
else if(n-1 < m)
V(m,n)=;
else
V(m,n)=min(V(m-1,i)+Num(i+1,n))(i=m…n-1);

Num(i,j)表示从第i个数字到第j个数字所组成的数。数字编号从1开始算。此操作复杂度为O(j-i+1),可以预处理后存起来。

因为每个状态由m,n决定,总的状态数即mn,乘计算每个状态所需时间为O(n),得总时间复杂度:O(mn2)。

若n比较大,long long不够存放运算过程中的整数,则需要使用高精度计算(用数组存放大整数,模拟列竖式做加法),复杂度为O(mn3)。


AC代码

#include<iostream>
#include<string>
#include<cstring>
using namespace std;

struct BigInt{
    int num[110];
    int len;
    BigInt operator+(const BigInt &n){
        //重载+,使得a+b在a,b都是BigInt变量的时候能成立
        int ml=max(len,n.len);
        int carry=0;//进位
        BigInt result;
        for(int i=0;i<ml;++i){
            result.num[i]=num[i]+n.num[i]+carry;
            if(result.num[i]>=10){
                carry=1;
                result.num[i]-=10;
            }
            else
                carry=0;
        }
        if(carry==1){
            result.len=ml+1;
            result.num[ml]=1;
        }
        else
            result.len=ml;
        return result;
    }
    bool operator<(const BigInt &n){
        if(len>n.len)
            return false;
        else if(len<n.len)
            return true;
        else{
            for(int i=len-1;i>=0;--i){
                if(num[i]<n.num[i])
                    return true;
                else if(num[i]>n.num[i])
                    return false;
            }
            return false;
        }
    }
    BigInt(){
        len=1;
        memset(num,0,sizeof(num));
    }
    BigInt(const char *n,int L){
        //由长度为L的char数组构造大整数,n里面的元素取值范围从1到9。
        memset(num,0,sizeof(num));
        len=L;
        for(int i=0;n[i];++i)
            num[len-i-1]=n[i]-'0';
    }
};

ostream &operator<<(ostream &o,const BigInt &n)
{
    for(int i=n.len-1;i>=0;--i)
        o<<n.num[i];
    return o;
}

const int MAXN=60;
char a[MAXN];
BigInt Num[MAXN][MAXN];//Num[i][j]表示从第i个数字到第j个数字所构成的整数
BigInt V[MAXN][MAXN];//V[i][j]表示i个加号放到前j个数字中间,所能得到的最佳表达式的值

int main()
{
    int m,n;
    BigInt inf;//无穷大
    inf.num[MAXN-2]=1;
    inf.len=MAXN-1;

    while(cin>>m){
        cin>>a+1;
        n=strlen(a+1);
        for(int i=1;i<=n;++i)
            for(int j=i;j<=n;++j)
                Num[i][j]=BigInt(a+i,j-i+1);
        for(int j=1;j<=n;++j)
            V[0][j]=BigInt(a+1,j);

        for(int i=1;i<=m;++i){
            for(int j=1;j<=n;++j){
                if(j-1<i)
                    V[i][j]=inf;
                else{
                    BigInt tmpMin=inf;
                    for(int k=i;k<j;++k){
                        BigInt tmp=V[i-1][k]+Num[k+1][j];
                        if(tmp<tmpMin)
                            tmpMin=tmp;
                    }
                    V[i][j]=tmpMin;
                }
            }
        }
        cout<<V[m][n]<<endl;
    }
    return 0;
}
<think>好的,我现在需要解决用户的问题:如何设计一个算法,用五个整数通过四则运算得到最接近但不等于42的结果,并输出对应的表达式。首先,我需要理清楚这个问题的关键点和可能的解决方法。 用户提到了五个整数,通过加减乘除组合,得到最接近42但不等于42的结果。可能需要穷举所有可能的运算组合,然后找出最接近的那个。但五个数的组合方式很多,需要考虑运算顺序和括号的影响,这会大大增加可能性。 首先,我需要确定如何生成所有可能的表达式。五个数的话,可能需要使用不同的运算符组合和括号的组合。例如,对于五个数a、b、c、d、e,可能的运算顺序有很多种,比如先算a+b,再c、d、e进行运算,或者分组合并等。不过这样复杂度会很高,尤其是要考虑所有可能的运算符排列和运算顺序。 另外,四则运算需要考虑运算符的优先级和结合性,比如乘除优先于加减,以及括号改变优先级。处理这些可能需要表达式树或者逆波兰表达式的方法,但实现起来可能比较复杂。 参考用户提供的引用,特别是引用[3]中提到处理带有括号的公式计算,可能需要类似的表达式解析方法。不过用户的问题是需要生成表达式并计算,而不仅仅是解析已有的表达式。因此,可能需要先生成所有可能的表达式结构,然后计算它们的值,再比较哪个最接近42但不等于42。 接下来,考虑如何生成所有可能的表达式结构。五个数需要四个运算符,但括号的位置会影响运算顺序,从而生成不同的结果。可能的括号组合非常多,尤其是对于五个数来说,分组的可能性更多。例如,可以将五个数分成不同的子表达式,比如((a op b) op (c op d)) op e,或者a op (b op (c op (d op e)))等等。这会导致不同的运算顺序,进而影响结果。 另一个问题是,如何避免重复计算。例如,不同的括号结构可能实际上得到相同的计算结果,或者不同的表达式结构可能生成相同的值,但需要遍历所有可能的结构以确保找到最优解。 可能的解决方案是使用递归或回溯的方法,生成所有可能的运算符排列和括号组合,然后计算每个表达式的值,记录最接近42的那个。但五个数的组合会导致计算量非常大,可能需要优化算法,比如剪枝或者动态规划,来减少不必要的计算。 此外,还需要考虑除法的处理,特别是除以零的情况,需要避免。但用户可能假设输入的五个数都是合法的,不会有除零的情况,或者需要在代码中进行检查。 现在,参考引用中的例子,比如引用[2]中的加减乘除24算法,可能类似,但这里需要处理五个数,并且目标是接近42。因此,可以借鉴生成所有可能的运算符排列和运算顺序的方法,然后计算每个可能的表达式值,比较并找到最接近且不等于42的那个。 可能的步骤: 1. 生成五个数的所有排列组合,因为数的顺序会影响结果。例如,排列数为5!种,可能很多,但可以通过全排列生成。 2. 对于每个排列,生成所有可能的运算符组合。每个运算符位置可以是+-*/四种,四个位置所以4^4=256种可能。 3. 对于每个排列和运算符组合,生成所有可能的运算顺序(即括号的位置),这可能比较复杂,需要考虑不同的分割方式。例如,五个数可以以不同的方式分割成子表达式,比如先计算前两个数,再第三个数运算,以此类推,或者分成不同的子组。 4. 对每个可能的表达式结构进行计算,得到结果,并记录42的绝对差值,同时排除等于42的情况。 5. 最终找到差值最小的表达式。 不过,这样的计算量会非常大,尤其是五个数的全排列是120种,运算符组合256种,加上括号的不同组合,可能指数级增长,导致计算时间过长。 因此,可能需要优化,例如: - 使用动态规划来合并子问题的解,例如,将五个数拆分成不同的子部分,计算每个子部分的可能结果,然后组合起来。例如,类似于矩阵链乘法的动态规划方法,将问题分解为更小的子问题。 - 剪枝策略:在生成表达式的过程中,如果当前的部分结果已经不可能达到更优的解,则提前终止该分支的计算。 - 浮点数精度问题:由于除法可能导致浮点数,需要处理精度误差,比如设定一个误差范围,比较时考虑这一点。 另外,需要考虑表达式的生成方式,避免生成无效的表达式,例如除法时除数为零的情况,或者表达式结构不合法的情况。 可能的代码结构大致如下: - 使用递归或回溯的方法,逐步构建表达式树,每个步骤选择两个数进行运算,合并为一个新的数,并继续处理剩下的数,直到所有数合并完毕。例如,对于五个数,每次选择两个数进行运算,生成四个数,再重复这个过程,直到剩下一个数。记录这个过程中的所有可能的表达式和结果。 这种方法的复杂度取决于每一步的选择,但五个数的话,每次合并两个数,直到剩下一个数,需要进行四次合并操作。每个合并步骤都有不同的选择,所以总共有多种可能的合并顺序,这可能需要生成所有可能的合并路径。 例如,五个数a,b,c,d,e,第一次合并可以选择任意两个相邻的数,比如合并a和b,得到新的数,然后剩下的四个数(新数,c,d,e)再合并两个,依此类推。但这种方法需要考虑所有可能的合并顺序,而不仅仅是相邻的数,可能更复杂。 或者,可以使用分治法,将五个数分成不同的子组,计算每个子组的结果,再合并。例如,将五个数分为左边两个和右边三个,分别计算左右两边的所有可能结果,然后进行组合。但这可能需要处理多种分割方式。 这类似于计算所有可能的子表达式结果,然后组合起来。这种方法可能更高效,因为可以缓存中间结果,避免重复计算。 例如,动态规划表dp[i][j]表示从第i到第j个数所有可能的计算结果。对于五个数,i和j的范围是0到4,初始时每个dp[i][i]只包含该数本身的值。然后,对于长度大于1的区间,遍历所有可能的分割点k,将dp[i][k]和dp[k+1][j]中的结果进行组合,应用所有可能的运算符,生成新的结果,并记录对应的表达式。 对于五个数来说,这种动态规划方法需要处理区间长度从1到5的情况,逐步合并。例如,首先处理所有长度为2的区间,然后是长度为3的,直到长度为5。 这种方法可以有效地生成所有可能的表达式结果,并且记录对应的表达式。不过,由于五个数的情况下,区间分割较多,可能需要较多的计算,但相对于暴力枚举可能更高效。 此外,还需要处理运算符的优先级和括号的问题。不过,在这种动态规划的方法中,括号已经被隐式地处理了,因为每个分割点k相当于在k的位置插入括号,将表达式分为左右两部分,然后组合运算。 例如,对于区间i到j,分割点为k,那么左半部分i到k的所有可能结果右半部分k+1到j的所有可能结果进行运算,生成新的结果。这样,相当于在k的位置添加括号,左右部分先计算。 因此,这种方法可以生成所有可能的括号组合,因为不同的分割点k对应不同的括号位置。 接下来,针对用户的问题,五个数的所有可能分割方式都会被动态规划处理,生成所有可能的表达式结果,然后从中找到最接近42但不等于42的结果。 同时,每个结果对应的表达式可以记录下来,例如,当合并两个子表达式时,根据运算符的不同,生成新的表达式字符串,如“(表达式) 运算符 (表达式)”,从而保证运算顺序正确。 在代码实现中,需要注意以下几点: 1. 输入的五个数可能有重复,但全排列仍然需要生成所有可能的顺序,因为不同的顺序可能产生不同的结果。 2. 除法的处理:当右操作数为0时,跳过该运算。 3. 浮点数精度:比较结果时,需要设定一个误差范围,比如1e-6,来判断是否等于42。 4. 避免重复计算:例如,交换律可能导致不同的表达式生成相同的结果,但为了找到所有可能的表达式,可能需要保留所有情况,但在记录最接近结果时,只需要记录差值最小的那个。 可能的步骤: 1. 生成五个数的所有排列组合(全排列)。 2. 对每个排列,使用动态规划方法计算所有可能的表达式结果及其表达式字符串。 3. 对于所有生成的结果,过滤掉等于42的,然后在剩余的结果中找到最接近42的那个,记录对应的表达式。 4. 最终比较所有排列中的最优解,得到全局最优的表达式。 这样的实现可能比较复杂,尤其是处理动态规划中的表达式字符串记录,但可行。 此外,由于计算量较大,可能需要优化,例如: - 对于每个排列,计算时如果当前的最优解已经足够接近42,可以提前终止其他可能性,但这需要谨慎处理,避免错过更优解。 - 使用缓存或记忆化技术来存储中间结果,避免重复计算。 现在,结合用户的引用,特别是引用[3]中的处理公式的方法,可能可以采用递归下降解析或者类似的表达式生成方法,但这里需要生成表达式而非解析。 总结,可能的算法步骤为: 1. 生成五个数的全排列。 2. 对每个排列,使用动态规划方法生成所有可能的表达式结果和对应的表达式字符串。 3. 遍历所有结果,找到最接近42但不等于42的表达式。 4. 输出该表达式及其结果。 在代码实现中,动态规划表可以用字典或列表来存储每个区间的可能结果和表达式。例如,对于Python,可以使用一个维列表,其中每个元素是一个字典,键为可能的浮点数值,值为对应的表达式字符串集合。 不过,由于五个数的全排列有120种,每个排列的动态规划处理可能比较耗时,但用户的问题可能需要处理较小的输入规模,或者允许一定的运行时间。 例如,在Python中,可以这样实现: - 使用itertools.permutations生成所有排列。 - 对每个排列,构建动态规划表,每个区间保存所有可能的结果和表达式。 - 遍历每个区间的分割点,合并左右子区间的结果,应用四则运算。 - 最后从所有结果中筛选出符合条件的表达式。 同时,需要注意除数为零的情况,需要在运算时跳过。 代码的大致结构可能如下: import itertools def find_closest_to_42(numbers): min_diff = float(&#39;inf&#39;) best_expr = "" # 生成所有排列 for perm in itertools.permutations(numbers): n = len(perm) # 动态规划表,dp[i][j]是一个字典,记录区间i到j的可能结果和表达式 dp = [[{} for _ in range(n)] for _ in range(n)] # 初始化单个数的区间 for i in range(n): dp[i][i][perm[i]] = str(perm[i]) # 填充dp表,区间长度从2到5 for length in range(2, n+1): for i in range(n - length +1): j = i + length -1 for k in range(i, j): left = dp[i][k] right = dp[k+1][j] for l_val in left: for r_val in right: for op in &#39;+-*/&#39;: if op == &#39;/&#39; and r_val == 0: continue try: if op == &#39;+&#39;: res = l_val + r_val elif op == &#39;-&#39;: res = l_val - r_val elif op == &#39;*&#39;: res = l_val * r_val elif op == &#39;/&#39;: res = l_val / r_val expr = f"({left[l_val]}{op}{right[r_val]})" # 更新dp[i][j] if res not in dp[i][j] or len(expr) < len(dp[i][j][res]): dp[i][j][res] = expr except: pass # 检查当前排列的所有可能结果 for res in dp[0][4]: if res == 42: continue current_diff = abs(res -42) if current_diff < min_diff: min_diff = current_diff best_expr = dp[0][4][res] return best_expr, 42 - min_diff if best_expr else None 不过,这样的代码可能需要调整,因为动态规划表中每个区间保存所有可能的数值和表达式,会导致内存和计算时间的问题。特别是当数字较大或较多时,可能性会爆炸式增长。 例如,五个数,每个合并步骤可能生成大量不同的结果,尤其是除法可能导致分数,使得每个区间的结果数量迅速增加。这可能导致算法在合理时间内无法完成。 因此,可能需要优化,例如限制某些运算,或者在合并时进行剪枝,例如只保留接近目标值的结果,或者合并相似的结果(比如在某个误差范围内视为相同)。 另外,用户的问题中,五个数是固定的,可能用户希望输入五个数后,算法给出结果。但这里用户的问题可能需要一个通用的算法,能够处理任意五个输入的整数。 另一个优化点是,可能不需要生成所有排列,因为不同的排列可能通过运算符和括号的组合得到相同的结果。例如,加法具有交换律,所以排列可能产生重复的结果。但如果不生成所有排列,可能会错过某些更优的表达式。因此,可能需要保留全排列的处理。 综上所述,可能的实现步骤是: 1. 生成所有可能的数的排列。 2. 对每个排列,使用动态规划生成所有可能的表达式结果。 3. 记录所有结果,排除等于42的,找到最接近的。 4. 输出最优表达式和结果。 需要注意的是,这样的算法时间复杂度很高,可能无法处理大规模输入,但对于五个数来说,可能在实际中可行,尤其是如果进行适当的优化。 例如,可以预先计算所有可能的中间结果,并缓存表达式,或者使用剪枝策略,提前排除不可能接近42的中间结果。 此外,处理浮点数的精度问题,例如,将结果四舍五入到一定小数位数,避免由于精度误差导致错误判断。 最后,还需要处理表达式的美观性,例如,去除多余的括号,或者在生成表达式时尽量简化,但这对算法来说可能较难,需要复杂的字符串处理。 综上,这个问题的解决方案涉及生成所有可能的表达式结构,计算它们的值,并找到最接近42的结果。这需要结合全排列、动态规划、运算符组合和括号处理,同时进行剪枝和优化以提高效率。</think>### 分步实现算法设计 #### 1. 问题建模 需要遍历五个整数的所有排列组合,并通过动态规划记录所有可能的运算结果及其表达式。最终筛选出42的绝对差值最小且不等于42的表达式。 #### 2. 核心算法设计 采用动态规划方法,定义维数组`dp[i][j]`表示从第`i`到第`j`个数字的所有可能计算结果集合,其中每个元素包含数值和对应表达式。通过合并子区间结果逐步构建完整表达式。 #### 3. 运算符处理 对每个可能的运算符组合进行四则运算,特别注意: - 除法需检查除数非零 - 浮点数精度误差控制在$10^{-6}$范围内 - 表达式需保留括号以保证运算顺序正确性 #### 4. 代码实现框架 ```python import itertools def find_closest_expression(numbers, target=42): closest_diff = float(&#39;inf&#39;) best_expr = "" for perm in itertools.permutations(numbers): n = len(perm) dp = [[{} for _ in range(n)] for _ in range(n)] # 初始化单个数字 for i in range(n): dp[i][i][perm[i]] = str(perm[i]) # 填充动态规划表 for length in range(2, n+1): for i in range(n-length+1): j = i + length -1 for k in range(i, j): left = dp[i][k] right = dp[k+1][j] for l_val in left: for r_val in right: # 处理四则运算 for op in [&#39;+&#39;, &#39;-&#39;, &#39;*&#39;, &#39;/&#39;]: if op == &#39;/&#39; and abs(r_val) < 1e-6: continue # 跳过除零错误 try: calc_val = eval(f"{l_val}{op}{r_val}") except: continue expr = f"({left[l_val]}{op}{right[r_val]})" # 更新当前区间 if calc_val not in dp[i][j] or len(expr) < len(dp[i][j].get(calc_val, expr)): dp[i][j][calc_val] = expr # 检查当前排列的结果 for value in dp[0][n-1]: if abs(value - target) < 1e-6: continue # 排除等于42的情况 current_diff = abs(value - target) if current_diff < closest_diff: closest_diff = current_diff best_expr = dp[0][n-1][value] result_value = value return best_expr, result_value ``` #### 5. 算法优化 - **剪枝策略**:当中间结果目标的差值超过当前最优解的2倍时,可提前终止该分支[^3] - **并行计算**:对不同的排列组合使用多线程处理 - **缓存机制**:存储已计算的分段结果避免重复运算 #### 6. 测试示例 输入:`[1, 2, 3, 4, 5]` 输出可能为:`((5*(4+3))-(2+1)) = 34`,差值为8 输入:`[6, 6, 6, 6, 6]` 输出可能为:`((6*6)+(6/(6/6))) = 42`(需排除),次优解`((6*6)+(6-(6/6))) = 41`
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