HPU1480: 又是划分问题

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本文介绍了一个整数划分问题的高效求解方法，通过动态规划思想实现了对特定整数的划分计数，尤其关注划分成2的幂次方数的情况，并提供了一个AC代码示例。

1480: 又是划分问题
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题目描述
给你一个正整数n，将其划分，要求划分成的数必须是2的幂，有多少种划分方法？？
结果可能很大，我们输出对1e9+7取模的结果
输入
一个正整数n,代表要划分的数；
$1\le n\le 10^7$
输出
输出可划分的方法数
样例输入
15
67
样例输出
26
2030
提示
当n=6时，我们可以将其划分为
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 2
1 1 2 2
2 2 2
1 1 4
2 4
这6种划分方法

比赛的时候没做出来，今天补题的时候想着用完全背包的思想来解决，可是超时了，只能用规律来做了，

思路：
dp。每个状态dp[i]可有两种状态得来，一种是 $dp[i] = dp[i-1]$ , 另一种是 $(dp[i-1） + dp[i>>1])$ 得来。前者是i为奇数时的状态转移，后者是偶数时。对于奇数i来说，是（i-1）增加了1，而且除以2以后和（i-1)/2相等，所以他的所有情况和（i-1）的情况相同，而对于偶数i来说，他在dp[i-1]的基础上增加了一种新的组合方式，即dp[i>>1]

规律 Orz

d p [i] = {d p [i - 1] d p [i - 1] + d p [i > > 1] i 是 奇 数 i 是 偶 数

$dp[i]= \begin{cases} dp[i-1] & i是奇数 \\ dp[i-1]+dp[i>>1] & i 是偶数 \end{cases}$

就这样子

    f[0]=1;
    f[1]=1;
    for(int i=2;i<MAXN;i++)
        if(i&1) f[i]=f[i-1];
        else    f[i]=f[i-1]%mod+f[i>>1]%mod;

AC代码：
规律 Orz

/*
    利用规率， 
*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
const int MAXN=1e7+7;
int f[MAXN];

int main() 
{
    f[0]=1;
    f[1]=1;
    for(int i=2;i<MAXN;i++)
        if(i&1) f[i]=f[i-1];
        else    f[i]=f[i-1]%mod+f[i>>1]%mod;

    int n;
    while(~scanf("%d",&n)) 
        printf("%d\n",f[n]%mod);
    return 0;
}