算术基本定理及其应用

算术基本定理，又称为正整数的唯一分解定理，即：每个大于1的自然数均可写为质数的积，而且这些素因子按大小排列之后，写法仅有一种方式。例如: ${\displaystyle 6936=2^{3}\times 3\times 17^{2}} ， {\displaystyle 1200=2^{4}\times 3\times 5^{2}}$。

算术基本定理的内容由两部分构成：
1. 分解的存在性：
2. 分解的唯一性，即若不考虑排列的顺序，正整数分解为素数乘积的方式是唯一的。

$$N=p_1^{a_1}*p_2^{a_2}*p_3^{a_3}\cdots*p_n^{a_n}=\prod_{i=1}^np_i^{a^i}$$
这里$\ p_1<p_2<p_3<\cdots<p_n\ $且均为质数，其中指数$\ a_i\ $是正整数

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定理应用

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N的正因数个数

一个大于1的正整数N，如果它的标准分解式为$N=p_1^{a_1}p_2^{a_2}p_3^{a_3}\cdots p_n^{a_n}$
那么N的正因数个数为

$$\sigma_0(N)=(1+a_1)(1+a_2)\cdots(1+a_n)$$

$\Large 所以 N 的正因子个数为：$

$$\Large \sigma(N)=\prod_{i=1}^{n}(1+a_i)$$

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N的全体正因数之和为

$\sigma(N)=(1+p_1+p_1^2+\cdots+p_1^{a_1})(1+p_2+p_2^2+\cdots+p_2^{a_2})\cdots(1+p_n+p_n^2+\cdots+p_n^{a_n})$

$\sigma(N)=(\frac{p_1^{a_1+1}-1}{p_1-1})(\frac{p_2^{a_2+1}-1}{p_2-1})(\frac{p_3^{a_3+1}-1}{p_3-1})\cdots (\frac{p_n^{a_n+1}-1}{p_n-1})$

$\sigma(N)=\prod_{i=1}^{n} \frac{p_i^{a_i+1}-1}{p_i-1}$

$\Large 所以 N 的全体正因子之和为：$

$$\Large \sigma(N)=\prod_{i=1}^{n} \frac{p_i^{a_i+1}-1}{p_i-1}$$

举个例子：
$12 = 2^2 * 3^1 = p_1^{a_1} * p_2^{a_2}\quad (p_1 = 2\; a_1 = 2\; p_2 = 3\; a_2 = 1)$
$而 12的因子有 1,\; 2,\; 3,\; 4,\; 6,\; 12$

$\;\;1 = 2^0 * 3^0$
$\;\;2 = 2^1 * 3^0$
$\;\;3 = 2^0 * 3^1$
$\;\;4 = 2^2 * 3^0$
$\;\;6 = 2^1 * 3^1$
$12 = 2^2 * 3^1$

$左边加起来 = 1+2+3+4+6+12 = 28 = (2^0 + 2^1 + 2^2) * (3^0 + 3^1) = 右边$

$(2^0 + 2^1 + 2^2)$ 是一个首项为1，公比为2的等比数列

$(3^0 + 3^1)$ 是一个首项为1 ， 公比为3的等比数列

因为我们对n进行算数分解 所以不可能出现公比为1的情况

根据等比数列求和公式 $(1 - q^n) / (1-q)$

分子分母同时乘$-1 \quad\; (q^n - 1) / (q - 1)$

因为第一项是从$0$开始的 所以 对于$p_i ^ {a_i}$ 它的前n项和为$(p_i^{a_i+1} - 1) / (p_i - 1)$
所
$\Large \sigma(N)=\prod_{i=1}^{n} \frac{p_i^{a_i+1}-1}{p_i-1}$

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求1到n的因子和的和

公式：

$$\Large ans\;=\;\sigma(1)+\;\sigma(2)+\;\sigma(3)+\;\cdots+\;\;\sigma(n)$$

这里以$n=12$为例：
$\;\;1:1$
$\;\;2:1,2$
$\;\;3:1,3$
$\;\;4:1,2,4$
$\;\;5:1,5$
$\;\;6:1,2,3,6$
$\;\;7:1,7$
$\;\;8:1,2,4,8$
$\;\;9:1,3,9$
$10:1,2,5,10$
$11:1,11$
$12:1,2,3,\;4,\;6,12$
则
$ans\;=\;\sigma(1)+\;\sigma(2)+\;\sigma(3)+\;\cdots+\;\;\sigma(12)$

$\small ans\;\;=\; 12*1 + 6*2 + 4*3 + 3*4 + 2*5 + 2*6 + 1*7 + 1*8 + 1*9 + 1*10 + 1*11 + 1*12$

$ans\; = \; \sum_{i=1}^{n}n/i*i\quad$(这里$n/i$是整除的意思)

然后我们这样看
$ans = 12*1 + 6*2 + 4*3 + 3*4 + 2*(5+6) + 1*(7+8+9+10+11+12)$

则对于每一个 $n/i$ 都有一个范围

$\Large n/i$ 范围$[l, r]$
当前$n/i$ 在范围内 对$ans$的贡献是
$12\;\; [1,\;1\;] \;\;\;\;12 * 1$
$6 \;\;\;\; [2,\;2\;] \;\;\;\; 6 * 2$
$4 \;\;\;\;[3,\;3\;] \;\;\;\; 4 * 3$
$3 \;\;\;\; [4,\;4\;] \;\;\;\; 3 * 4$
$2 \;\;\;\; [5,\;6\;] \;\;\;\; 2 * (5 + 6)$
$1 \;\;\;\; [7,12] \;\;\;\;1 * (7 + 8 + --- + 12) \quad$ 然后这里可以等差数列求和

可以发现 每一个$\;\large l\;$等于上一个$\;\Large r+1\;$ 而$\; \Large r = n/(n/l)\;\quad$这里是整除

/*
 *      求1到n的因子和的和
 *
 * 
 */

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

ll Sigma(ll n)
{
    ll ans=0;
    ll r;
    for(ll l=1;l<=n;l=r+1)
    { 
        r=n/(n/l);
        ans+=(l+r)*(r-l+1)/2*(n/l);

        //(l+r)             首项+尾项
        //(r-l+1)           项数 
        //(l+r)*(r-l+1)/2   区间和
        //(n/l) 是拥有这样因子的区间个数 
        //      printf("l:%2lld  r:%2lld  l+r:%2lld  r-l+1:%lld     n/l:%2lld    ans:%3lld\n",l,r,l+r,r-l+1,n/l,ans); 
    }
    return ans;
}

int main()
{
    ll n;
    while(~scanf("%lld",&n))
        printf("%lld\n",Sigma(n));
    return 0;
}

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求1到n的因子个数的和

还是以$n=12$为例

i:	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
因子个数	1	2	2	3	2	4	2	4	3	4	2	6

$ans = τ(1) + τ(2) + τ(3) + τ(4)+ τ(5)+ τ(6)+ τ(7)+ τ(8)+ τ(9)+ τ(10)+ τ(11) + τ(12)$
$ans= 1 + 2 + 2 +3 + 2 + 4 + 2 + 4 + 3 + 4 + 2 + 6$
$ans= 1 * 1 + 2 * 5 + 3 * 2 + 4 * 3 + 6 * 1$
$ans=\sum_{i=1}^{n}\Large( \frac{n}{i})$

/*
 *  求1到n的因子个数的和
 *
 */
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

ll f(ll n)
{
    ll ans=0;
    ll r;
    for(ll l=1;l<=n;l=r+1)
    {
        r=n/(n/l);
        ans+=n/l*(r-l+1);
        //(n/l)     代表因子个数 
        //(r-l+1)   是有这个因子个数的区间长度
    }
    return ans;
}

int main()
{
    ll n;
    while(~scanf("%lld",&n))
        printf("%lld\n",f(n));
    return 0;
}

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GCD和LCM

利用算术基本定理可以重新定义整数a和b的最大公因子$gcd(a,b)$ 和最小公倍数$lcm(a,b)$
将a和b写成

$$a=p_1^{a_1}p_2^{a_2}p_3^{a_3}\cdots p_n^{a_n}$$
$$b=p_1^{b_1}p_2^{b_2}p_3^{b_3}\cdots p_n^{b_n}$$

$\large 所以a和b的最大公因数与最小公倍数可以写成这个形式，也可以由下边这个形式求得$

$$\large gcd(a,b)=p_1^{min(a_1,b_1)}p_2^{min(a_2,b_2)}p_3^{min(a_3,b_3)}\cdots p_n^{min(a_n,b_n)}$$
$$\large lcm(a,b)=p_1^{max(a_1,b_1)}p_2^{max(a_2,b_2)}p_3^{max(a_3,b_3)}\cdots p_n^{max(a_n,b_n)}$$

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未完待续…