扩展欧几里得学习总结

扩展欧几里得算法

$~~~~$用来在已知整数a,b的情况下求解符合条件的x,y值，满足等式ax+by=gcd(a,b)。
$~~~~$且有对于整数 a,b， 必然存在整数对 x,y，满足ax+by=gcd(a,b)。

有关算法的递归思想

$~~~~$由欧几里得算法可知求解两个整数gcd的过程，即gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。那么当辗转到最终状态时b=0,a=gcd，此时对于ax+by=gcd(a,b)对应着x=1,y=0，即a*1+0*y=gcd(a,b) (其实此时y的取值是无关紧要的，毕竟y的系数已经化为0)。当然这只是最终状态下x,y的取值，那么我们应该怎样由最终的状态反推到之前的状态呢
假设我们当前已经进入gcd(b,a%b)的化简状态，则有b*x+(a%b)*y=gcd，
可化简为 b*x+(a-(a/b)*b)*y=gcd，（a/b为下取整）
继续化简 b*x+a*y-(a/b)*b*y=gcd，
则可得 a*y+b*(x-(a/b)*y)=gcd
对比于之前的等式 ax+by=gcd 我们不难发现 x 与 y 之间的变换关系，即x=y,y=x-(a/b)*y，由此关系进行递归即可。

有关解的增长周期关系

$~~~~$对于不定方程ax+by=gcd(a,b)，肯定是存在多组解的，使用扩展欧几里得算法处理得到x0,y0的只是一组特解，那么我们应该怎样用x0,y0去表示通解从而方便我们求得符合题意要求的解呢
$~~~~$ax+by=gcd 可化简为 y=$-\frac{b}{a}*x+gcd$，由该方程我们可知，x 每增加 m，y 值便减少 $\frac{b}{a}*m$ ，一方面因为我们需要求解整数解，所以 m 和 $\frac{b}{a}*m$ 必须是整数，另一方面我们需要尽可能的表示出 x,y 解的最大范围，所以 m 必须取尽可能小的值，其对应的 $\frac{b}{a}*m$ 也相应最小。所以可得 m=$\frac{b}{gcd}$ ，此时x和y的增长周期分别为$\frac{b}{gcd}$和$\frac{a}{gcd}$，两个数互为素数，满足最小整数值的要求。则有通解 $x=x0+\frac{b}{gcd}，y=y0-\frac{a}{gcd}$。

算法应用

1、求解不定方程
$~~~~$对于方程ax+by=c方程的求解，只需要由上述概述加上一步的转化
$~~~~$即在ax+by=gcd的等式两端同时乘上$\frac{c}{gcd}$，那么对于ax+by=gcd的特解x0也需要乘上 $\frac{c}{gcd}$ 才是ax+by=c方程的特解， 所以当c%gcd!=0时，是属于无解情况，关于通解的表示与上述还是一样的。
POJ 2115 C Looooops

2、求解模线性方程（线性同余方程）
（1）一元线性同余方程组
$~~~~$以POJ 2891为例
$~~~~$先由两个方程说起， 对于M%a1=r1$~~~~~$M%a2=r2两个关系式可以转化为
$~~~~$a1*x+r1=M$~~~~~$a2*x+r2=M
$~~~~$两式相减便有：a1*x-a2*y=r2-r1
$~~~~$对于该方程使用扩展欧几里得算法可以得到一个特解x0，则X可由一个满足这两个方程的值，即x=x0*a1+r1。
$~~~~$且X的通解可以表示为：X=x+k*lcm(a1,a2)
$~~~~$即 lcm(a1,a2)*z+x=X 现在则实现了将两个方程合并，则合并后新的方程的 a1’=lcm(a1,a2)=a1(a2/gcd)，r1’=x=x0*a1+r1。
以此类推，与剩下的n-2个方程进行合并求出最终解。

代码实现

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
#define ll __int64
int n;
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
    if(!b){
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    ll ans=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return ans;
}
void solve()
{
    ll a1,r1,a2,r2,a,b,c,t;
    ll d,x0,y0;
    bool flag=1;
    scanf("%lld %lld",&a1,&r1);
    for(int i=1; i<n; i++)
    {
        scanf("%lld %lld",&a2,&r2);
        a=a1,b=a2,c=r2-r1;
        d=exgcd(a,b,x0,y0);
        if(c%d!=0)
        {
            flag=0;
        }
        ll t=b/d;
        x0=(x0*(c/d)%t+t)%t;
        r1=a1*x0+r1;
        a1=a2/d*a1;
        r1%=a1;
    }
    if(!flag)
    {
        printf("-1\n");
        return ;
    }
    if(r1<0)
        r1+=a1;
    printf("%lld\n",r1);
}

int main()
{
    while(~scanf("%d",&n))
        solve();
    return 0;
}

（2）多元线性同余方程组
$~~~~$后序补更……
3、求解模的逆元
$~~~~$有关乘法逆元，满足a*x%m=1，即ax+my=1，即为求解不定方程c=1的情况
$~~~~$题目中一般会要求输出最小的正整数，因为最后结果是对 m 取模，所以当题意中的 m 有可能是负数时，要先对 m 取绝对值，且通解可以表示为 X=x0+(m/gcd)*t=x0+m*t（gcd必为1，否则c%gcd!=0无解）。当x0是非正数时，对 m 取模仍然是非正数，再加上 m 即可。

ZOJ 3609 Modular Inverse

#include <iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
#define ll long long
ll d;
ll ex_gcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
    if(!b)
    {
        d=a,x=1,y=0;
    }
    else
    {
        ex_gcd(b,a%b,y,x);
        y-=(a/b)*x;
    }
    return d;
}
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    while(n--)
    {
        ll a,m,x,y;
        scanf("%lld %lld",&a,&m);
        ll gcd=ex_gcd(a,m,x,y);
        if(gcd!=1)
            printf("Not Exist\n");
        else
        {
            m=abs(m);
            x%=m;
            if(x<=0)
                x+=m;
            printf("%lld\n",x);
        }
    }
    return 0;
}