巧用组合数证明平方和、立方和

前言：

搞算法，做数学，求和的时候往往会遇到平方求和，立方求和。但是求和的公式并不是那么好背，网上搜一搜都是千篇一律的三次方差，四次方差相减求和相消，一堆数字看着人头皮发麻。。。

而用组合数就灵活得多~

证明1（平方求和）： ${\sum }_{i=1}^n\left(i^2\right)={\sum }_{i=1}^n\left[i\times (i-1)+i\right]$

$=2{\sum }_{i=1}^n\left[\frac{i\times (i-1)}{1\times 2}\right]+{\sum }_{i=1}^{n}i$

$=2{\sum }_{i=2}^n{C}_i^2+{\sum }_{i=1}^{n}i$ （这里的组合数求和方法高中至少学过四种）

$=2\times C_{n+1}^3+\frac{n\times (n+1)}{2}$

$=\frac{n\times (n+1)\times (2n+1)}{6}$

证明2（立方求和)(方法同上类似)： ${\sum }_{i=1}^n{i}^3={\sum }_{i=1}^n\left[i^2\times (i+1)-i^2\right]$

$={\sum }_{i=1}^n\left[i\times (i+1)\times (i-1+1)-i^2\right]$

$={\sum }_{i=1}^n\left[(i-1)\times i\times (i+1)+i\times (i+1)-i^2\right]$

$=6\times {\sum }_{i=2}^n{C}_{i+1}^3+2\times {\sum }_{i=1}^n{C}_{i+1}^2-{\sum }_{i=1}^n{i}^2$ (这里就用到了证明1的平方求和结论)

$=6\times C_{n+2}^4+2\times C_{n+2}^3-\frac{n\times (n+1)\times (2n+1)}{6}$

$=\frac{(n+2)\times (n+1)\times n\times (n-1)}{4}+\frac{(n+2)\times (n+1)\times n}{3}-\frac{n\times (n+1)\times (2n+1)}{6}$

$={\left[\frac{n\times (n+1)}{2}\right]}^2$

总结：

很巧妙，本来无从下手的式子，化成组合数的形式再求和就变得迎刃而解。

而究其组合数的本质，这个东西说白了不就是由加减乘除这些基本的运算组成的吗，但是“组合”起来就有了它自己的性质。

这和OOP的思想有异曲同工之妙，或许为我们以后解决问题提供了更高一阶的角度。